Velocidad angular en el campo de fuerza central

Para el movimiento en un campo de fuerza central, considere un marco de referencia giratorio, que se caracteriza por los ángulos de Euler$\alpha$,$\beta$,$\gamma$asociado con la rotación del marco de coordenadas cartesianas necesario para alinear el$z$eje del marco de laboratorio al momento angular de la partícula$\vec{l}$y el$y$eje del marco del laboratorio con el$\vec{r}$vector que especifica la posición instantánea de una partícula con respecto al centro de fuerza.

$$\dot{\gamma}=\frac{l}{mr^2}$$ y $\alpha$, $\beta$son constantes.

Velocidad de una partícula (en sistema de coordenadas esféricas dentro del marco de laboratorio; quiero decir$x=r\sin\theta\cos\phi$, etc.) es

$$\vec{v}~=~v_r\vec{e}_r+v_\theta\vec{e}_\theta+v_\phi\vec{e}_\phi=~\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\theta}\vec{e}_\theta+r\sin\theta\dot{\phi}\vec{e}_\phi.$$ $$v_r=\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-\frac{l^2}{2mr^2}\right)},$$ dónde $E$es la energía de una partícula, $m$es masa y $l=|\vec{l}|$. quiero expresar $v_\theta$y $v_\phi$en términos de variables de un marco de referencia giratorio.

encontre eso

$$x=-r(\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma+\sin\alpha\cos\gamma),$$ $$y=r(-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma),$$ $$z=r\sin\beta\sin\gamma.$$ Además lo sustituyo por $$\theta=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},$$ y $$\phi=\arctan\frac{y}{x}$$ y tomar la derivada con respecto a $t$. Finalmente, expresando $\sin\theta$en términos de nuevas variables $$\sin^2\theta=\frac{x^2+y^2}{r^2}=\cos^2\beta\sin^2\gamma+\cos^2\gamma$$ yo obtengo $$v_\theta~=~-r\frac{\sin\beta\cos\gamma}{\sqrt{\cos^2\beta\sin^2\gamma+\cos^2\gamma}}\dot{\gamma}$$ y $$v_\phi~=~\pm r\frac{\cos\beta}{\sqrt{\cos^2\beta\sin^2\gamma+cos^2\gamma}}\dot{\gamma},$$ ( $\pm$es por $\sin\theta$).

Mi pregunta es: ¿no debería ser

$$\sqrt{v_\theta ^2 +v_\phi ^2}~=~r\dot{\gamma}?$$