Equivalencia de condiciones que involucran el momento angular de una bola rodante que golpea una pared

Question

Equivalencia de condiciones que involucran el momento angular de una bola rodante que golpea una pared

Marmistrz

(59 Olimpiada Polaca de Física)

Una bola de masa $m$ , radio $r$ y un momento de inercia $I = \frac 25 mr^2$ rueda por el suelo sin deslizarse con la velocidad lineal $v_0$ . Golpeó la pared perpendicularmente. averiguar la velocidad $v_k$ de que la pelota se aleja de la pared mucho tiempo después de la colisión.

El coeficiente de rozamiento entre la pelota y el suelo es igual a $\mu$ , mientras que el coeficiente de fricción entre la pared y la pelota es muy grande. Las colisiones son infinitesimalmente cortas. Todas las colisiones son perfectamente elásticas y no sufren deformación. Ignore la resistencia a la rodadura y la resistencia del aire.

Como el choque es muy breve, las fuerzas que actúan entre la pared y la pelota son muy grandes, por lo que podemos despreciar la gravedad, el rozamiento entre el piso y la pelota y la fuerza de reacción del piso. Entonces se conserva el momento angular con respecto al eje de tangencia de la bola a la pared. Esto significa $I' \omega' = \mathrm{const}$ , dónde $I'$ es el momento de inercia de una bola con respecto a ese eje y $\omega'$ la velocidad angular con respecto a ese eje.

Pero, ¿por qué es equivalente a la condición de que $I\omega + mv_yr = \mathrm{const}$ dónde $v_y$ Cuál es la componente vertical de la velocidad de la pelota?

/editar: la solución oficial:

El sistema de coordenadas se utiliza de eje $x$ perpendicular a la pared y dirigido a la izquierda, el eje $y$ es perpendicular al suelo y se dirige hacia arriba. Las velocidades angulares positivas significan un movimiento en sentido antihorario.

Como la pelota rueda sin deslizarse, se acerca a la pared con velocidad lineal $v_0$ y angulares $\omega_0$ .

La colisión con la pared es muy breve, por lo que la fuerza de contacto y la fuerza de reacción son muy grandes. Esto significa que durante la colisión podemos despreciar la gravedad, la reacción del piso y la fricción de la pelota con el piso. En esta situación, los momentos de torsión con respecto al eje de tangencia de la bola a la pared son iguales a 0. Por lo tanto, el momento angular total se conserva con respecto a ese eje.

I ω + metro v_{y} r = C o norte s t (1)

$I\omega + mv_y r = \mathrm{const} (1)$

Debido a que el coeficiente de fricción de la pared es muy grande, durante la colisión, la pelota dejará de deslizarse hacia la pared. Esto significa que justo después de la colisión, la componente vertical de la velocidad de la pelota $v_{y2}$ y es la velocidad angular $\omega_2$ cumplir la formula $v_{2y} = \omega_2 r$ . Teniendo en cuenta que antes de la colisión $\omega = v_0 /r, v_y = 0$ , de la conservación del momento angular (1) obtenemos

ω_{2} = \frac{I}{I + metro r^{2}} \frac{v_{0}}{r} = \frac{2}{7} \frac{v_{0}}{r}

$\omega_2 = \frac {I}{I + mr^2} \frac {v_0} r = \frac 2 7 \frac {v_0} r$

v_{2 y} = ω_{2} r = \frac{2}{7} v_{0}

$v_{2y} = \omega_2 r = \frac 2 7 {v_0}$

La pared y la pelota son idealmente elásticas, el trabajo total realizado por las fuerzas de reacción perpendiculares a la pared es igual a cero, por lo que la energía cinética en la dirección de $x$ se conserva, por lo que $v_{2x} = - v_0$

Después del choque, el movimiento de la pelota es un proyectil con velocidad inicial $(v_{2x}, v_{2y}$ . El piso y la pelota son idealmente elásticos, por lo que la pelota saltará infinitamente, alcanzando la misma altura máxima (no tiene importancia para conocer la velocidad horizontal final).

Durante la colisión con el suelo tendremos rozamiento hasta llegar a $v_{x_{konc}} = \omega_{x_{konc}} r$ . Por otra parte, en cada colisión con el suelo se conserva el momento angular respecto al eje de tangencia de la bola al suelo.

I ω + metro v_{X} r = C o norte s t

$I \omega + m v_x r = \mathrm {const}$

Por eso

v_{X_{k o norte C}} = \frac{I ω_{2} + metro r v_{2 X}}{I + metro r^{2}} r

$v_{x_{konc}} = \frac{I \omega_2 + mrv_{2x}}{I+mr^2}r$

/edit2: Debería dar $\omega_2 = 2/7 \omega_0$ , en efecto.

Tenemos

\frac{d {pag}_{X}}{d t} = norte (t)

$\frac {dp_x}{dt} = N(t)$ La fricción da una aceleración hacia arriba.

\frac{d {pag}_{y}}{d t} = F norte (t)

$\frac {dp_y}{dt} = fN(t)$ y disminuye la velocidad angular

I \frac{d ω}{d t} = - F norte (t) r

$I \frac {d\omega}{dt} = -fN(t)r$

Por eso

I \frac{d ω}{d t} + r \frac{d {pag}_{y}}{d t} = 0 (*)

$I \frac {d\omega}{dt} + r\frac {dp_y}{dt} = 0 ~~~~(*)$ Luego de integrar y encontrar las constantes

metro r v_{2 y} - metro r v_{0} = metro r v_{2 y} = metro r^{2} ω_{2} + I ω_{2} - I ω_{0} = 0

$mrv_{2y} - mrv_0 = mrv_{2y} = mr^2 \omega_2 + I \omega_2 - I \omega_0 = 0$ Entonces

ω_{2} = \frac{2}{7} ω_{0}

$\omega_2 = \frac 2 7 \omega_0$

De hecho, la fórmula (*) es la fórmula con la que tengo problemas. Pero, ¿por qué es de hecho la fórmula para la conservación del momento angular para el eje de tangencia?

jaromrax

Es

I

$I$ momento angular o el momento de inercia en su notación? Creo que la pista es que intercambias energía de rotación por energía potencial... y no tratas de conservar el momento angular... nunca retrocedería, como todos estimamos.

Marmistrz

Sí, sí, sí, lapsus linguae :) Es el momento de la inercia. Corregido, gracias! Bueno, pero es difícil calcular estas diferencias de energía. La solución oficial del problema utiliza la conservación del momento angular.

rmhleo

Hola @marmistrz, ¿sigues interesado en una respuesta a esta pregunta?

Marmistrz

@rmhleo TBH después de esos dos años, realmente no recuerdo de qué se trataba el problema y realmente no tengo tiempo para investigarlo en este momento. Pero puede ser útil para alguien más.

Respuestas (2)

Equivalencia de condiciones que involucran el momento angular de una bola rodante que golpea una pared

Es $I$ momento angular o el momento de inercia en su notación? Creo que la pista es que intercambias energía de rotación por energía potencial... y no tratas de conservar el momento angular... nunca retrocedería, como todos estimamos.
Sí, sí, sí, lapsus linguae :) Es el momento de la inercia. Corregido, gracias! Bueno, pero es difícil calcular estas diferencias de energía. La solución oficial del problema utiliza la conservación del momento angular.
Hola @marmistrz, ¿sigues interesado en una respuesta a esta pregunta?
@rmhleo TBH después de esos dos años, realmente no recuerdo de qué se trataba el problema y realmente no tengo tiempo para investigarlo en este momento. Pero puede ser útil para alguien más.

usuario66432 · Answer 1

Suponiendo que se trata de una colisión elástica, tendrá, inmediatamente después, una bola con el mismo movimiento de rodadura (en sentido contrario a las agujas del reloj) pero trasladándose en la dirección opuesta en $v_0$ . Ahora hay rozamiento porque la pelota esta "deslizando", y el nuevo movimiento de equilibrio sera cuando ambas se muevan sin volver a deslizar en $v_k$ . Avíseme si no sabe cómo resolver este último problema. En resumen, el efecto de la colisión es solo cambiar la dirección de $v_0$ . La fricción entre la pared y la pelota no debería tener ningún efecto (ya que la colisión es infinitesimalmente corta)

ACTUALIZACIÓN: Supongo que la pelota se invierte $v_0$ y comienza la fricción hasta que la bola deja de deslizarse. Por tanto, la velocidad angular final será $v_f/r$ . Tenemos

$v_f=v_0-at_s=v_0-\mu gt_s$ (1)

dónde $t_s$ es el tiempo que tarda en dejar de deslizarse. puedes obtener $t_s$ del par:

$\tau.t_s=\Delta L=\frac{2}{5} m r^2(\frac{v_f}{r}+\frac{v_0}{r})=\mu mgrt_s$ (2)

de aqui se obtiene $t_s$ y reemplace en (1) para obtener:

$v_f=\frac{3}{7}v_0$

ACTUALIZACIÓN 2: si aceptamos la explicación de que la pelota rodará hacia arriba hasta dejar de deslizarse, alcanzando $w_2$ , entonces tenemos que cambiar, en la ec. (2), la velocidad angular inicial en la solución anterior de $\frac{v_0}{r}$ a $\frac{2v_0}{7r}$ .

En tal caso obtenemos:

$v_f=\frac{31}{49}v_0$

La solución oficial afirma que la pelota tendrá la velocidad vertical $v_y = 2/7 v_0$ y la velocidad horizontal solo cambiará de signo. Se calcula a partir de la ecuación de conservación y del hecho de que como el coeficiente de fricción es muy grande, después de un tiempo la bola dejará de deslizarse hacia la pared.
no tiene ningún sentido que la pelota tenga una velocidad vertical final después de mucho tiempo (tampoco es lo que se pregunta), además la velocidad horizontal debe disminuir debido a la fricción horizontal. Obtuve $v_f=3/7v_0$ , déjame comprobar los resultados de nuevo
La solución oficial afirma que la velocidad vertical disminuirá hasta $v_x = \omega r$ .
¿Es posible que publiques la solución oficial? ¿Quién sabe qué tipo de suposición implícita hacen? más lo que es $\omega$ (Me refiero en función de los datos iniciales). Puede que me equivoque, pero tengo un doctorado en física y lo que mencionaste sobre la solución oficial todavía no tiene ningún sentido para mí.
¡Gracias! la explicación no tiene ningún sentido para mí. Ignorar la gravedad y asumir la conservación del momento angular cuando tienes una fuerza vertical (fricción) no parece correcto. Publicaré una recompensa (tan pronto como la pregunta sea elegible) para obtener más atención de otras personas, estoy intrigado si estoy haciendo algo mal.
Necesito esperar 48 horas para que la pregunta sea elegible para una recompensa. Entonces, esperemos. Apuesto a que la respuesta oficial es incorrecta.
Bueno, supongo que podemos usar la conservación del momento angular. Tenemos una fuerza de contacto y una fuerza de reacción infinitamente grandes. Tan infinitamente grande fricción vertical. La gravedad es mucho menor, por lo que en cualquier colisión podemos despreciarla. También podemos ver la reacción del suelo. La fricción horizontal es aún menor. Ahora, las únicas fuerzas se encuentran en el eje de tangencia. Entonces, el par total con respecto a ese eje es $τ = R_{w} \cdot 0 + F_{F r i C t i o {norte}_{w a yo yo}} \cdot 0 = 0$ $\tau = R_w \cdot 0 + F_{friction_{wall}} \cdot 0 = 0$ entonces el momento angular se conserva con respecto a ese eje. Aunque, la condición (1) en la publicación de apertura todavía me parece misteriosa.
Además, ¿cómo sabes si durante todo el tiempo del choque la pelota estará deslizándose? Es posible que se deslice por un tiempo y que comience a moverse sin deslizarse.
Demasiadas suposiciones aquí, pero es correcto que si asume (lo que no es evidente a partir de la descripción del problema), que la colisión es infinitesimalmente corta, aunque sea lo suficientemente larga como para permitir que la pelota ruede por la pared, entonces $w_2=2/7w_0$ , pero la pregunta era por la velocidad final en la dirección horizontal (que se obtiene de la misma manera calculada $w_2$ . Cuando dije que el momento angular no se conserva, asumí que su origen de coordenadas estaba en el centro del disco. Si lo pones en la pared acepto que se conserve.
Supongo que tenemos que suponer que sí. Pero, ¿por qué la fórmula (1) es el momento angular con respecto al eje de la pared? no veo la equivalencia $L = I'\omega'$ como se describe en el OP.
¿Y tal vez sea porque el movimiento respecto al eje instantáneo de rotación es una composición del movimiento circular respecto al eje de simetría y el movimiento lineal del centro de masa? Por eso $L = L_{yo i norte} + L_{C i r C} = metro v_{y} r + I ω$ $L = L_{lin} + L_{circ} = m v_y r + I \omega$ Pero no estoy seguro de si es correcto... ¿Lo es? Da el resultado correcto, sin embargo: D
¿Por qué no habría impulso angular en la pelota debido a la fricción entre la pelota y la pared?

paolzpk · Answer 2

Aunque es un poco tarde para @marmistrz, creo que esta pregunta merece una mejor explicación.

Para explicar por qué la solución oficial es correcta, conviene aclarar primero cómo se calcula el momento angular de un cuerpo rígido con respecto a un punto no estacionario y distinto del centro de masa.

En general, el momento angular con respecto a un punto O fijo en el espacio inercial se puede expresar como:

$L^O = z_P \times m(v_P + \omega \times r_C) + r_C \times m v_P + J^P \cdot \omega \tag{1}$

dónde:

P es un punto fijo al cuerpo
$z_P$ Es el vector de posición de P con respecto al punto O en el sistema de referencia inercial
$r_C$ es la posición del centro de masa visto desde el punto P
$v_P$ la velocidad del punto P visto desde el espacio inercial
$\omega$ la velocidad angular del marco fijo al cuerpo con respecto al marco inercial
$J^P$ el momento de inercia con respecto a P

Nota 1: Estoy usando la misma notación que en “Dinámica de sistemas de cuerpos rígidos” p35 de Wittenburg. Compruébalo para entender de dónde viene la ecuación anterior.

Nota 2: esto difiere de la ecuación habitual utilizada para expresar el momento angular $L = J^C \cdot \omega + r_C \times m v_C$ ya que esto es válido si y solo si el momento se calcula con respecto a un punto que está fijo tanto en el espacio de inercia como en el marco del cuerpo o coincide con el centro de masa del cuerpo. De hecho, se puede verificar que (1) da como resultado esta última ecuación si P coincide con el centro de masa C.

Para conservar el momento angular, elegimos los puntos O y P, ambos coincidentes con el punto de impacto. De hecho, el momento angular se conserva aquí porque se supone que el impacto es instantáneo: en esta hipótesis, solo se deben tener en cuenta las fuerzas impulsivas, es decir, la reacción horizontal de la pared y la fuerza de fricción en la pared (ya que el coeficiente de fricción es infinitamente grande), y ambos se aplican en P:

$M^{ext}_P = 0$

$L^P = const$

Como P coincide con O, el vector de posición $z_P = 0$ . En estas condiciones, la fórmula del momento angular anterior se simplifica a:

$L^P = r_C \times m v_P + J^P \cdot \omega$

El momento de inercia con respecto a P es el momento de inercia con respecto al centro de masas más la masa por el radio al cuadrado (teorema de los ejes paralelos):

$J^P = J^C + mr^2 = \frac{2}{5} mr^2 + mr^2 = \frac{7}{5} m r^2$

Antes del impacto, el punto P se mueve hacia abajo con una velocidad de $v_0/r$ , es decir, en marco inercial $r \times v_P$ se dirige dentro de la pantalla. La velocidad angular del cuerpo ( $\omega = v_0/r$ ) sin embargo, está en la dirección opuesta, por lo tanto, al tomar la dirección positiva al salir de la pantalla, el momento angular antes del impacto se puede escribir como:

$L_{before} = \frac{7}{5} m r^2 \frac{v_0}{r} - m r^2 \frac{v_0}{r}$

Después del impacto, el punto P está fijado a la pared por la condición de no deslizamiento, por lo que el momento angular es justo:

$L_{after} = \frac{7}{5} m r^2 \frac{v_1}{r}$

Igualando los dos momentos angulares:

$\frac{7}{5} m r^2 \frac{v_0}{r} - m r^2 \frac{v_0}{r} = \frac{7}{5} m r^2\frac{v_1}{r}$

$\frac{2}{5} v_0 = \frac{7}{5} v_1$

$v_1 = \frac{2}{7} v_0$

Lo cual es igual al resultado dado en la solución.

Creo que el resto de la solución es lo suficientemente clara y no se necesita más explicación.

Aunque esta forma de razonamiento puede ser más complicada que la respuesta oficial, me resulta difícil convencerme de la solución de otra manera.

¡Espero que esto pueda ayudar a alguién!

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