Velocidad angular después de un impulso de fricción [duplicado]

Para esta publicación estoy usando los subíndices$_0$,$_1$,$_p$, y$_n$para denotar pre-impacto, post-impacto, normal a la superficie de impacto y tangencial a la superficie de impacto según los diagramas de OP.

Configuración

Si la pelota es esférica y de densidad uniforme,$I=\frac25m\,r^2$

La fuerza que actúa sobre la pelota con el tiempo se puede integrar en un impulso. El impulso debe actuar en el punto de contacto que es$r$lejos del centro de masa. El$p$componente sólo afectará a la$p$componente de la velocidad y el máximo$n$fuerza por fricción. El$n$componente afectará el$n$la velocidad y la velocidad de rotación.

$$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac{J_n\,r}{I}$$ (El signo del último término depende de su elección de sistema de coordenadas)

Estuche rodante

Si la pelota tiene suficiente fricción para que al final del impacto esté rodando por la superficie,$V_{n1}=-\omega_1\,r$

Este sería el caso cuando existan superficies de alto rozamiento y la bola no sea muy elástica a la torsión. Me imagino que este sería el caso de las pelotas de baloncesto. (Tenga en cuenta que como las pelotas de baloncesto son huecas$I\approx\frac23m\,r^2$por lo que los cálculos a continuación tendrían que ser rehechos para ese valor de$I$)

Este es ahora un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Resolviendo rendimientos:

$$J_n=-\frac27 m(r\,\omega_0+V_{n0})$$ $$\omega_1=\frac{2\,\omega_0}7-\frac{5V_{n0}}{7r}$$ $$V_{n1}=-\frac{2r\,\omega_0}7+\frac{5V_{n0}}{7}$$

que si pones$\omega_0=0$rendimientos$V_{n1}=\frac57V_{n0}$tal como se indica en el enunciado del problema. Tenga en cuenta que no se utilizó conservación de la energía, ya que en este caso la fricción consumiría parte de la energía.

Impacto deslizante

Ahora, si desea modificar este sistema a uno en el que el impacto termine antes de que la velocidad de deslizamiento se vuelva cero, entonces la pelota se deslizaría durante toda la duración del impacto, lo que significa que$F_n=\mu\,F_p$durante toda la duración del impacto, por lo que$J_n=\mu\,J_p$Así que ahora tenemos:

$$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac{J_n\,r}{I}$$

$$V_{p1}=V_{p0}+\frac{J_p}{m}=-V_{p0}\,COR$$

$$J_n=\mu\,J_p$$

Dónde$COR$es el coeficiente de restitución de la velocidad perpendicular a la superficie.

Resolver directamente produce algunas ecuaciones largas y feas, pero si estuviera programando esto, probablemente calcularía los valores de la siguiente manera:

$$maxFriction=\mu\,(COR+1)$$ $$V_{p1}=-V_{p0}\,COR$$ $$V_{slide}=r\,\omega_0+V_{n0}$$ $$\frac{J_n}{m}=-sign(V_{slide})\,min(maxFriction\,|V_{p0}|,\frac27 |V_{slide}|)$$ $$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac52\frac{J_n}{m}$$

Torsión elástica

¿Qué sucede cuando obtienes algo como una súper pelota, o una pelota de lacrosse, que puede deformarse y almacenar energía torsionalmente?

En este caso, el impulso puede ser más fuerte que el requerido para llevar la velocidad de deslizamiento a cero. Esto es similar a cómo en las colisiones elásticas la diferencia de velocidad entre dos objetos no solo se reduce a cero, sino que en realidad invierte la dirección. Resulta que el impulso máximo que no produce energía neta invierte la dirección de la velocidad de deslizamiento. Sin embargo, creo que hay una interacción entre la velocidad perpendicular y cuánto cambia la velocidad de deslizamiento. Así que todo lo que puedo decir por ahora es que$|J_n| < \frac47m(r\,\omega_0+V_{n0})$y$|J_n| < \mu\,m\,(COR+1)V_{p0}$

$F_r = \mu N$

$\mu$es el coeficiente de fricción. N es la fuerza normal (la parte de la fuerza gravitacional perpendicular a la superficie).

Si se desliza parcialmente, entonces la cantidad de trabajo realizado no es F*longitud de la pendiente; no cometa este error.

Esta es una respuesta bastante larga: vaya al final si solo quiere ver la solución.

Parecería que está asumiendo que la colisión es lo suficientemente inelástica como para que la pelota no rebote en la superficie, ¿correcto? Parece un poco inusual que una pelota sea lo suficientemente inelástica como para adherirse a una superficie, pero lo suficientemente rígida como para rodar suavemente después, pero lo aceptaremos.

Podemos dividir la energía cinética inicial en dos partes:$KE_p$y$KE_n$Estoy usando su sistema de etiquetado de dimensiones de "p" y "n".

Dado que la pelota aparentemente pierde toda su velocidad en la dirección "p", y no veo evidencia de ninguna fuerza parcialmente en las direcciones "p" y "n" que podría facilitar una transferencia de energía cinética entre la "p" y direcciones "n", llegué a la conclusión de que el 100% de$KE_p$debe disiparse en forma de calor.

Eso deja$KE_n$para dividir entre el movimiento de traslación final en la dirección "n" y el movimiento de rotación.

Me tomaré un momento para resolver el caso en el que la pelota rueda sin deslizarse. En ese caso, la energía total disponible es$KE_n$

$$KE_n = \frac{1}{2} m ~V_{n0}$$ Esa energía se distribuye entre energía cinética de traslación, energía cinética de rotación y posiblemente calor. $$KE_{n0} = KE_{n1} + KE_{rot} + Q$$ $$\frac{1}{2} m ~V_{n0}^2 = \frac{1}{2} m ~V_{n1}^2 + \frac{1}{2} I ~\omega^2 + Q$$ Para una esfera uniforme, $I = \frac{2}{5} m r^2$. Si su pelota comienza a rodar sin resbalar inmediatamente después del impacto, la velocidad de rotación y la velocidad de traslación deben estar relacionadas a través de $\omega = \frac{V_{n1}}{r}$. Sustituyendo esos en y simplificando, obtenemos

$$V_{n0}^2 = \frac{7}{5} V_{n1}^2 + Q$$

Ahora, si asumimos (probablemente razonablemente) que se genera un calor insignificante en el impacto de la velocidad inicial de la pelota en la dirección "n", entonces obtenemos

$$V_{n1} = \sqrt{\frac{5}{7}} V_{n0}$$

¡ Observe la raíz cuadrada ! Parecería que usted o su fuente olvidaron una raíz cuadrada en alguna parte.

Ahora, su pregunta era sobre el comportamiento si la fuerza de fricción no es lo suficientemente fuerte como para causar "rodar puro" o "rodar sin resbalar", como me enseñaron a llamarlo.

Cuando la pelota golpea por primera vez, no gira en absoluto. Así, en el primer instante, debe ser puramente deslizante. En este caso, no hay energía de rotación, y la energía se divide de la siguiente manera:

$$\frac{1}{2} m ~V_{n0}^2 = \frac{1}{2} m ~V_{n1}^2$$ dejándonos con $$V_{n1} = V_{n0}$$ Respuesta bastante simple. Ahora, no está del todo claro si quieres esto, pero así es como evolucionará la velocidad:

Las fuerzas en la dirección "n" serán$F_n = F_{gn} + F_f$, donde F_{gn} es la componente de la fuerza gravitacional en la dirección "n". La fuerza de rozamiento debe ser$\mu F_N$dónde$F_N$, la fuerza normal, debe ser$m g cos(\theta)$.

$$F_n = - m g sin(\theta) - \mu m g cos(\theta)$$

Dado que esta es una fuerza constante, podemos dividir por la masa, obtener la aceleración y predecir la velocidad de traslación con el tiempo:

$$V_{n1}(t) = V_{n0} - (sin(\theta) + \mu cos(\theta)) g t$$

La velocidad de rotación se puede obtener a través del par. La única fuerza que produce un momento de torsión es la fuerza de fricción, por lo que

$$\tau = \mu m g cos(\theta) r$$

Lo cual, si asumimos que la fuerza de fricción cinética es constante, de manera similar nos permite encontrar

$$\omega(t) = \frac{\tau}{I} t$$ $$\omega(t) = \frac{\mu m g cos(\theta) r}{\frac{2}{5} m r^2} t$$ $$\omega(t) = \frac{5}{2} \frac{\mu g cos(\theta)}{r} t$$

Así que mi respuesta final es que$V_{n1}(t)$es dado por

$$V_{n1}(t) = V_{n0} - (sin(\theta) + \mu cos(\theta)) g t$$ Dónde $t=0$es el momento del impacto. Esta respuesta es válida hasta el punto en que la pelota deja de moverse, o hasta que la pelota comienza a rodar sin deslizarse (ya que la fricción estática se hace cargo en ese punto).