Duda sobre el principio de conservación de la cantidad de movimiento y la energía

Question

Duda sobre el principio de conservación de la cantidad de movimiento y la energía

usuario118752

Digamos que liberamos una sacudida de masa $m$ unido al techo a través de un cable de longitud $l_0$ . Ahora, en el punto más bajo, otra sacudida idéntica de masa $m$ se une suavemente a la sacudida. Ahora debemos encontrar el ángulo hasta el cual se eleva el sistema.

Primero traté de resolver la pregunta usando el problema de conservación de energía desde el punto de partida hasta el último punto (máximo $\theta$ ) (tomando el punto más bajo como punto de referencia potencial)

{tu}_{i norte i t i a yo} = metro gramo ({yo}_{0})

$U_{initial} = mg(l_0)$

k_{i norte i t i a yo} = 0

$K_{initial}=0$

{tu}_{F i norte a yo} = 2 metro gramo {yo}_{0} (1 - porque θ)

$U_{final}= 2mgl_0(1-\cos\theta)$

k_{F i norte a yo} = 0

$K_{final}=0$

Usando

{tu}_{i norte i t i a yo} + k_{i norte i t i a yo} = {tu}_{F i norte a yo} + k_{F i norte a yo}

$U_{initial}+K_{initial}=U_{final}+K_{final}$

metro gramo ({yo}_{0}) = 2 metro gramo {yo}_{0} (1 - porque θ)

$mg(l_0)=2mgl_0(1-\cos\theta)$ $\Rightarrow θ = 60^{0}$ $\Rightarrow \theta= 60^0$

Luego traté de resolver el problema usando la conservación del momento.

En el punto más bajo, la velocidad de la masa individual es $\sqrt{2gl_0}$ Usando la conservación del impulso

metro \cdot \sqrt{2 gramo {yo}_{0}} = 2 metro \cdot v

$m \cdot \sqrt{2gl_0}=2m \cdot v$ (dónde

v

$v$ es la velocidad de la masa combinada desde el punto más bajo)

v = \frac{\sqrt{2 gramo {yo}_{0}}}{2}

$v= {\sqrt{2gl_0} \over 2}$

Ahora nuevamente usando la conservación de energía desde el punto más bajo hasta el último punto

{tu}_{i norte i t i a yo} = 0

$U_{initial} = 0$

k_{i norte i t i a yo} = \frac{1}{2} (2 metro) v^{2}

$K_{initial}={1 \over 2}(2m)v^2$

{tu}_{F i norte a yo} = 2 metro gramo {yo}_{0} (1 - porque θ)

$U_{final}= 2mgl_0(1-\cos\theta)$

k_{F i norte a yo} = 0

$K_{final}=0$

Usando

{tu}_{i norte i t i a yo} + k_{i norte i t i a yo} = {tu}_{F i norte a yo} + k_{F i norte a yo}

$U_{initial}+K_{initial}=U_{final}+K_{final}$

\frac{1}{2} (2 metro) v^{2} = 2 metro gramo {yo}_{0} (1 - porque θ)

${1 \over 2}(2m)v^2=2mgl_0(1-\cos\theta)$

\frac{metro (2 gramo {yo}_{0})}{4} = 2 metro gramo {yo}_{0} (1 - porque θ)

${m(2gl_0) \over 4}= 2mgl_0(1-\cos\theta)$

\Rightarrow θ = C o s^{- 1} (3 / 4)

$\Rightarrow \theta = cos^{-1}(3/4)$

¿Por qué existe tal contradicción entre las respuestas? ¿No se puede aplicar aquí la ley de conservación de energía?

Respuestas (3)

Duda sobre el principio de conservación de la cantidad de movimiento y la energía

granjero · Answer 1

Para que las pesas se unan, la colisión tiene que ser inelástica y, por lo tanto, la energía cinética no se conserva durante la unión de las dos pesas.
Una vez que haya encontrado la velocidad después de la unión de las dos masas por la conservación del momento, verá que hay una disminución en la energía cinética.

Actualización que me ha costado mucho escribir.

Ya sea que la unión sea suave o no debido a que no hay fuerzas horizontales externas durante la colisión, se debe aplicar la conservación del momento en la dirección horizontal.

Entonces, la energía cinética de la lenteja antes de la unión es $\frac 1 2 \; m \; 2gl_o$ y la energía cinética de los dos bob después de la unión es $\frac 1 2 \; 2m \;\dfrac{2gl_o}{4}$ .

La energía cinética de traslación del centro de masa de las dos pesas se ha reducido a la mitad.

Si la unión se realiza mediante un pasador unido a una lenteja que va hacia la otra lenteja, entonces se puede decir que se necesita trabajo para introducir la clavija en la lenteja y el resultado es que algunos enlaces entre los átomos se rompen permanentemente y las lentejas se vuelven más caliente

Supongamos en cambio que los dos bobs, $A$ y $B$ estaban tan limpios que cuando chocaban entre sí estaban unidos por fuerzas cohesivas.

Así que la sacudida en movimiento $A$ golpea el bob estacionario $B$ , los enlaces entre las dos pesas se deforman y el centro de masa de las dos pesas se mueve a la mitad de la velocidad inicial de la pesa. $A$ determinado por la conservación del impulso.

Hay dos extremos:

1 Como resultado de la colisión, los enlaces entre las dos pesas se deforman permanentemente y el trabajo necesario para hacerlo proviene de la energía cinética de la pesa. $A$ tenía inicialmente.
La colisión entre las pesas es inelástica.

2 La colisión entre las dos pesas es elástica, lo que significa que los enlaces comprimidos actúan como resortes comprimidos y almacenan energía potencial elástica y también ejercen fuerzas sobre las dos masas.

Las dos masas se separan, ganan energía cinética y continúan haciéndolo hasta que los enlaces comienzan a estirarse.
Luego, las dos pesas disminuyen la velocidad y pierden energía cinética y los enlaces porque se estiran ganan energía potencial elástica.
Eventualmente, las dos pesas se detienen y los lazos ahora las unen.

Así que en resumen.
Tiene el centro de masa de las dos pesas moviéndose en un arco de círculo y las dos pesas oscilando alrededor de su centro de masa con una energía asociada con ese movimiento oscilatorio que es la mitad de la energía cinética de esa pesa. $A$ tenía inicialmente.

Todo esto es bastante abstracto, pero el punto que estoy tratando de hacer es que la energía cinética "faltante" no se pierde, pero ya no es parte de la energía cinética de traslación del sistema de dos bobs.

En el mundo real, la colisión bien podría enviar ondas (de choque) dentro de las pesas.
Con el paso del tiempo, esas ondas se apagarían y, como resultado, los bobs tendrían una temperatura más alta.

Entonces, por cualquier mecanismo que elija para unir las dos pesas, la mitad de la energía cinética inicial de esa pesa $A$ hubiera terminado como calor, sonido y trabajo realizado deformando permanentemente las bobinas.

Entonces, ¿eso significa que no puedo usar el primer método ya que en el momento de la colisión, algo de energía cinética se desembolsa en uno potencial?
OP dice "suavemente", eso sugiere que no hay colisión, como magnetismo leve, etc.
Ya sea suavemente o no, las dos pesas se pegan al final y, de alguna manera, la energía cinética disminuye. Si se trata de un pasador en una lenteja que entra en la otra, se realiza un trabajo que rompe permanentemente los enlaces y se produce calor.
Si se tratara de una disposición de tipo gancho, las dos pesas oscilarían alrededor de su centro de masa con la velocidad del centro de masa determinada por la conversación del momento. De alguna manera, piense en ello como una cuna de dos bolas de Newton donde una bola golpea a la otra y luego están contenidas para moverse juntas.
En este problema, el truco consiste en reconocer primero que se trata de una colisión inelástica. Obviamente, la energía perdida se convierte en calor, energía de resorte o alguna otra forma de energía, pero eso es irrelevante para llegar a la respuesta correcta. Esta situación de colisión de una masa en movimiento con una masa estacionaria y luego ambas masas se pegan y se mueven juntas en la misma dirección no pueden satisfacer tanto la conservación de la energía como la conservación del momento simultáneamente. Tiene que ser tratado como una colisión inelástica donde se mantiene la conservación del momento.
En este ejemplo, la energía cinética inicial es $\frac 12 mv^2$ y la energía cinética de traslación final es $\frac 12 (2m) \left (\frac v2 \right )^2 =\frac 12 \left ( \frac 12 m v^2 \right )$

usuario103515 · Answer 2

La velocidad (v1) de la masa m justo antes de adherirse a la segunda masa m es sqrt(2gl0)

Ahora usa la conservación del impulso para calcular la velocidad (v2) justo después de que las 2 masas se mantengan juntas. Resulta ser sqrt(2gl0)/2.

Calcule la KE justo antes de pegarse. resulta ser (mgl0)

Calcular la KE justo después de pegar. resulta ser ser (mgl0)/2.

Entonces, puedes ver claramente que la energía total no se conserva en este problema. Cuando las masas se mantienen juntas, la energía no se conserva. Es una interacción inelástica. No se puede aplicar la conservación de la energía y la cantidad de movimiento simultáneamente a este problema. Puedes comprobarlo escribiendo las ecuaciones de conservación de energía y cantidad de movimiento para este problema.

Pero el impulso siempre se conserva ya que se ha despreciado la fricción (con el aire). Entonces, su segundo método en el que primero calculó la velocidad usando la conservación del momento y luego aplicó la conservación de la energía después de que las masas se mantuvieron juntas es correcto.

usuario104372 · Answer 3

No necesita cálculos complejos, si hay una colisión inelástica, la velocidad se convierte en 1/2 y la altura en 1/4, (de lo contrario, la velocidad de la lenteja [s] se convierte en v/sqrt2), altura ( $l_0*(1-cos\theta)$ es solo la mitad, luego encuentra el ángulo correspondiente. Si efectivamente el ángulo original era de 60°, en este caso el nuevo ángulo será = 41,41°, porque $\theta'= arccos (1-\frac{cos\theta}{2})$ , (1-1/4 = 3/4)

¿Cuál es la respuesta dada? De lo que ellos consideran la respuesta correcta podemos deducir qué condiciones imaginaron. ¿Dibujaste la imagen tú mismo, ya que no es precisa? Si el segundo bob se adjunta a continuación, eso reduce el CoM y eso debe tenerse en cuenta

Si la velocidad final de las dos pesas es $\dfrac{v}{\sqrt 2}$ entonces la cantidad de movimiento en la dirección horizontal no se conserva. La colisión entre las dos pesas debe ser inelástica.
@Farcher, esperemos la respuesta dada y sabremos qué tenían en mente. Según los procedimientos de OP, esto parece ser lo más probable. Si es inelástico, entonces v se convierte en la mitad.
Realmente aprecio la forma en que me simplificaste las cosas, y no hacer clic en tu respuesta no significa que no la acepté. Es solo que quería saber la razón por la que KE no se conserva y por eso elegí la primera.

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Respuestas (3)

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Ayuda para derivar una ecuación simple en una colisión bidimensional: conservación del momento

¿Cómo se calcula el impulso cuando se da la altura y no la velocidad sin utilizar la conservación de la energía?

Confundido acerca de la elasticidad y las colisiones.

¿Es válida mi prueba del experimento mental que propuso Walter Lewin en la lección 16? [cerrado]

Uso de la conservación del momento durante la colisión de 2 bloques 1 conectado a un resorte (en reposo) y otro golpeando con una velocidad

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