Vectores unitarios en el sistema de coordenadas cilíndricas como funciones de posición

Como vemos en la Figura-01, los vectores unitarios de las coordenadas rectangulares son los mismos en cualquier punto, es decir, son independientes de las coordenadas del punto.

Pero en la Figura-02 los vectores unitarios$\;\mathbf{e}_\rho,\mathbf{e}_\phi \;$de coordenadas cilíndricas en un punto dependen de las coordenadas del punto y más exactamente del ángulo$\;\phi$. El vector unitario$\;\mathbf{e}_z\;$es independiente de las coordenadas cilíndricas del punto.

En coordenadas esféricas, Figura-03, los vectores unitarios dependen de los ángulos acimutal y polar$\;\phi\;$y$\;\theta\;$respectivamente.

Aunque esto es más un problema matemático, pensé que escribir una respuesta es menos problemático que tratar de migrar la pregunta. Y muchos problemas de física dependen de nuestra comprensión de los sistemas de coordenadas.

Pensemos en las coordenadas polares en el plano xy, ya que las coordenadas cilíndricas son solo esto con una coordenada z agregada.

Digamos que estamos en el círculo unitario ($r=1$). Ahora, cuando$\theta=0$, el vector unitario radial apunta a lo largo del eje x positivo. Pero que si$\theta=\pi$? Entonces el vector unitario radial apunta a lo largo del eje x negativo. Puede elegir cualquier otro ángulo y ver los puntos del vector unitario radial a lo largo de una dirección diferente. Lo mismo para el$\theta$vector unitario.

Ahora, ¿qué pasa con nuestros vectores unitarios cartesianos? Bueno, estos siempre son paralelos a sus respectivos ejes, y estos ejes son fijos. Por lo tanto, estos vectores unitarios no dependen de la ubicación.