vectores contravariantes y covariantes y su ortogonalidad en el espacio euclidiano

"Contracción-ortogonalidad" de base covariante y contravariante

Los vectores contravariantes o simplemente "vectores" se definen como elementos del espacio tangente en un punto dado. En la práctica, se definen con respecto a una base de vector de coordenadas$\mathbf{e}_{(i)}$, dónde$\mathbf{e}_{(i)}$es el vector tangente al$i$-ésima línea de coordenadas. Luego se dan, como de costumbre, como una combinación lineal de los vectores base ( sumación de Einstein asumida de ahora en adelante)

$$\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_{(i)}$$

Los vectores covariantes o "formas 1", por otro lado, son objetos más abstractos que se definen exclusivamente a través de su acción sobre vectores contravariantes. Por ejemplo, una forma de 1 que actúa sobre un (vector contravariante) devolverá un número

$$\mathbf{\alpha}(\mathbf{v}) = C,\,C \in \mathbb{R}$$

Otro requisito en el formulario 1$\alpha$es que su acción es lineal , es decir para cualquier vector$\mathbf{v},\,\mathbf{w}$y dos constantes cualesquiera$D$,$E$

$$\alpha(D \mathbf{v} + E \mathbf{w}) = D \alpha(\mathbf{v}) + E \alpha(\mathbf{w})$$ Esto realmente significa que podemos reconstruir completamente su acción a partir de los componentes $\alpha_i \equiv \alpha(\mathbf{e}_{(i)})$porque luego gracias a la linealidad (compruébalo tú mismo) $$\alpha(\mathbf{v}) = \alpha_i v^i$$ Alternativamente, puede definir $\alpha_i$como componentes con respecto a una base covariante $\alpha = \alpha_i \epsilon^{(i)}$dónde $\epsilon^{(i)}$se define por la propiedad $$\epsilon^{(i)}(\mathbf{e}_{(j)}) = \delta^i_j$$ Es decir, la "ortogonalidad de contracción" de las bases covariantes y contravariantes no tiene nada que ver con una definición geométrica de distancia o ángulos (también conocida como la métrica).

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Subir y bajar índices

Ahora considere un espacio donde realmente tenemos una métrica$g_{ij}$, de forma abstracta podemos definirlo como

$$\mathbf{g}(\mathbf{v},\mathbf{w})=C,\,C \in \mathbb{R}$$ donde nuevamente requerimos linealidad. Ahora considere la forma $\kappa$definido por $\kappa(\mathbf{w}) \equiv \mathbf{g}(\mathbf{u},\mathbf{w})$para algunos vectores $\mathbf{u}$. $\kappa$es una forma completa como se define arriba, se puede demostrar que sus componentes son $$\kappa_i = g_{ij} u^j$$ Los físicos conocen esto como "reducción del índice". Suponemos que la métrica no es degenerada, lo que significa que $u \leftrightarrow \kappa$es una relación uno a uno y podemos encontrar una inversa $\mathbf{g}^{-1}$. Los componentes de la métrica inversa generalmente se denotan como $g^{ij}$dónde $g_{ij} g^{jk} = \delta^i_k$es una propiedad definitoria . La "elevación de índices" de formas a vectores se define entonces por $$w^i = \beta_j g^{ij}$$ De hecho, esta operación es tan común en geometría métrica que los físicos (especialmente los relativistas) simplemente dicen que es "el mismo objeto con índices hacia arriba o hacia abajo", es decir $$\kappa_i = v^j g_{ij} \equiv v_i$$ y $$w^i = \beta_j g^{ij} \equiv \beta^i$$

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Bases no ortogonales

Podemos tomar los vectores base contravariantes y verificar si son ortogonales tomando simplemente

$$\mathbf{g}(\mathbf{e}_{(i)},\mathbf{e}_{(j)}) =?$$ o la base covariante $$\mathbf{g}^{-1}(\mathbf{\epsilon}^{(i)},\mathbf{\epsilon}^{(j)}) =?$$ En este sentido, los vectores base covariantes y contravariantes pueden ser ortogonales o no ortogonales.

Me siento un poco incómodo con la forma en que el artículo anterior "mezcla" los vectores covariante y contravariante. Tratando de evaluar si$\mathbf{e}_{(i)}$y$\epsilon^{(j)}$son ortogonales no tiene mucho sentido porque son simplemente objetos geométricos diferentes. (Si intenta subir/bajar un índice en cualquiera de ellos a través de la métrica y luego usa la métrica para producir un producto de puntos del resultado, obtendrá la ortogonalidad trivialmente de las propiedades definitorias de las bases y la métrica/métrica inversa citada anteriormente. puede verificarlo usted mismo fácilmente).