Transformación de coordenadas generalizadas

Una de las ventajas de la formulación lagrangiana es que las ecuaciones de movimiento tienen la misma forma independientemente de la elección de las coordenadas generalizadas. Supongamos que un sistema tiene$s$grados de libertad, y sea$q_i (i = 1, 2, ..., s)$sean las coordenadas generalizadas (GC). Las ecuaciones de movimiento de Lagrange son

$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \tag{1} \label{Lq}$$ Entonces, cuando una transformación del GC de la forma $$Q_i = Q_i(q_1,...,q_s,t), \ i = 1,2,...,s \tag{2} \label{Qq}$$ se considera, las ecuaciones de movimiento tendrán la misma forma, sólo que $q_i$reemplazadas con $Q_i$, y Lagrangiano expresado en nuevos GC: $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial Q_i} = 0. \tag{3} \label{LQ}$$

Estoy tratando de probar esta afirmación de la siguiente manera. Usando la regla de la cadena,

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{\partial \dot{q_k}}{\partial \dot{Q_i}}.$$ $q_k$se puede obtener invirtiendo la transformación GC anterior $\eqref{Qq}$como $$q_k = q_k(Q_1,...,Q_s,t), \ k = 1,2,...,s. \tag{4} \label{qQ}$$ Entonces $$\dot{q_k} = \frac{\partial q_k}{\partial Q_i} \dot{Q_i} + \frac{\partial q_k}{\partial t}$$ y $$\frac{\partial \dot{q_k}}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}.$$ De este modo, $$\frac{\partial L}{\partial \dot{Q_i}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}. \tag{5} \label{term1}$$ También, $$\frac{\partial L}{\partial Q_i} = \frac{\partial L}{\partial q_k} \frac{\partial q_k}{\partial Q_i}. \tag{6} \label{term2}$$ Sustituyendo $\eqref{term1}$y $\eqref{term2}$en $\eqref{LQ}$: $$\frac{\partial q_k}{\partial Q_i} \left\lbrace\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_k}\right\rbrace + \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial q_k}{\partial Q_i}\right)=0.$$ Ahora, el término entre llaves es nulo debido a $\eqref{Lq}$, pero desde $\frac{\partial q_k}{\partial Q_i}$es una función del tiempo, el último término, que debería ser cero si las ecuaciones de Lagrange son invariantes bajo una transformación GC de forma $\eqref{Qq}$, no será cero.

¿Dónde estoy haciendo mal?