Variables lineales en movimiento circular

Question

Variables lineales en movimiento circular

Física
rotación
cinemática
cinemática-rotacional

locura

El siguiente es un problema realmente básico. No estoy interesado en la solución, sino por qué la solución particular que se menciona a continuación funciona en todos los casos generales:

Imaginemos que una persona corre por una pista circular. Su velocidad lineal inicial $u$ . La aceleración tangencial es $a_t$ y el radio de la trayectoria circular es $r$ . Se nos pide que averigüemos el tiempo necesario para completar una rotación.

La forma convencional de hacer esto es $2\pi r=ut+\frac{1}{2}a_{t}t^2$ como consecuencia de la ecuación general $s=ut+\frac{1}{2}at^2$ . Aquí están mis dudas con respecto a la ecuación que nunca llegué a entender al usar variables lineales para el movimiento circular.

La ecuacion $s=ut+\frac{1}{2}at^2$ se dedujo asumiendo $s$ representa el desplazamiento, mientras que cuando usamos $s=2\pi r$ en el problema no tomamos el desplazamiento sino la distancia. Además, no debería existir ningún término llamado velocidad uniforme en movimiento circular, ya que la dirección del vector de velocidad cambia constantemente. Pero aún así, veo que este término se usa en los libros. También ocurre el mismo problema de desplazamiento en caso de desplazamiento angular . Cuando se nos pregunta sobre una o dos rotaciones, tomamos $\theta$ ser múltiplo de $2\pi$ radianes mientras que el desplazamiento es $0$ radianes

Soy un novato en física, por lo que me gustaría tener la amable atención de los respetados usuarios aquí para rectificar mis conceptos erróneos.

ACB

¿Responde esto a tu pregunta? ¿Por qué el desplazamiento lineal es la longitud del arco?

locura

Desafortunadamente, no a un nivel detallado, o incluso si lo es, no lo entendí, ya que inicialmente se centraron en el problema del péndulo.

locura

Seguro que lo tendré en cuenta de ahora en adelante.

Respuestas (3)

Variables lineales en movimiento circular

¿Responde esto a tu pregunta? ¿Por qué el desplazamiento lineal es la longitud del arco?
Desafortunadamente, no a un nivel detallado, o incluso si lo es, no lo entendí, ya que inicialmente se centraron en el problema del péndulo.

david blanco · Answer 1

El enunciado del problema original te dio una rapidez lineal, no una velocidad lineal, porque como supusiste, la velocidad tiene tanto una rapidez como una dirección. Para el movimiento circular, la velocidad puede ser constante o no, pero es seguro que la dirección del movimiento cambia continuamente, por lo que declarar una velocidad es técnicamente inválido. También tenga en cuenta que el enunciado del problema solicitó el tiempo de viaje, no el desplazamiento, por lo que está bien usar la distancia recorrida para este problema.

Con respecto a lo que pide el problema, la ecuación $2\pi r=ut+\frac{1}{2}a_{t}t^2$ sí te permite calcular el tiempo que se tarda en hacer una revolución completa, porque la aceleración tangencial es constante (un requisito de las ecuaciones cinemáticas), y esa ecuación se resolverá con la fórmula cuadrática. Se requerirá un poco de cuidado al llegar a una solución porque solo una de las raíces de la fórmula cuadrática será lo que está buscando.

Gracias por su respuesta, en realidad mi duda original era sobre el uso $2\pi r$ como desplazamiento ya que las ecuaciones lineales de movimiento se derivan considerando el desplazamiento pero $2\pi r$ representa la distancia.

Gert · Answer 2

RW Bird tiene razón en que hay cierta confusión. terminología. Sin embargo, como de costumbre, el significado puede derivarse del contexto.

Ahora mira la situación anterior:

El corredor corre de $A$ a $B$ , siguiendo el arco. El desplazamiento angular aquí es $\theta$ .

la velocidad angular $\omega$ es dado por:

ω = \frac{d θ}{d t}

$\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$

Si el movimiento no es uniforme, entonces debe haber aceleración angular. $\alpha$ :

α = \frac{d ω}{d t} = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}

$\alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d^2}\theta}{\mathrm{d}t^2}$

En el caso de aceleración angular constante $\alpha$ el desplazamiento angular $\theta(t)$ es dado por:

θ (t) = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}

$\theta(t)=\theta_0+\omega_0t+\frac12 \alpha t^2$

donde el sufijo $_0$ se refiere a valores en $t=0$ .

Los desplazamientos angulares y lineales se relacionan de la siguiente manera:

s (t) = θ (t) R

$s(t)=\theta(t)R$

con $R$ el radio de la pista circular.

¿Cómo derivamos $\theta(t)=\theta_0+\omega_0t+\frac12 \alpha t^2$ ?

En primer lugar tenemos, con $\omega(0)=\omega_0$ , de modo que:

α = \frac{d ω}{d t}

$\alpha=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}$

\int_{ω_{0}}^{ω (t)} d ω = α \int_{0}^{t} d t

$\int_{\omega_0}^{\omega(t)}\mathrm{d}\omega=\alpha\int_0^t\mathrm{d}t$

\Rightarrow ω (t) = ω_{0} + α t

$\Rightarrow \omega(t)=\omega_0+\alpha t$

Entonces con $\omega=\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ y $\theta(0)=\theta_0$ :

\int_{θ_{0}}^{θ (t)} d θ = \int_{0}^{t} ω (t) d t = \int_{0}^{t} (ω_{0} + α t) d t

$\int_{\theta_0}^{\theta(t)}\mathrm{d}\theta=\int_0^t \omega(t) \mathrm{d}t=\int_0^t\left(\omega_0+\alpha t\right)\mathrm{d}t$

θ (t) = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}

$\boxed{\theta(t)=\theta_0+\omega_0t+\frac12 \alpha t^2}$

Muchas gracias por su amable respuesta, ¿podría proporcionar una prueba de $\theta(t)=\theta_{0}+\omega_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ sin uso $s=r\theta$ ?(es decir, sin relacionar en términos de variables lineales ya que eso sería una lógica circular).
Bien, hecho. Precaución: se utiliza cálculo leve pero inevitable.

RW pájaro · Answer 3

Este es un problema inusual y, por lo tanto, es un poco confuso. Por lo general, un corredor en una pista circular se mueve a una velocidad constante y está sujeto a una aceleración centrípeta. En este caso, se le da una aceleración tangencial. La velocidad (tangencial) del corredor está aumentando y la fórmula que tienes para la distancia alrededor de la pista (una longitud de arco) es correcta. Puedes resolverlo por el momento. Técnicamente, el término "desplazamiento" se refiere a un vector. Después de completar un circuito de la pista, el desplazamiento del corredor es cero.

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