3D: obtenga la velocidad lineal a partir de la posición y la velocidad angular

Dejar$\vec r_0(t)$denota el punto alrededor del cual el objeto está girando y$\vec r(t)$la posición del objeto. Entonces el hecho de que la partícula esté girando alrededor del punto$\vec r_0(t)$puede formalizarse mediante el enunciado matemático de que

$$\vec r(t) - \vec r_0(t) = R(t) \vec c$$ para algún vector constante $\vec c$y rotación dependiente del tiempo $R(t)$. Resulta que $$\dot{\vec r}(t) - \dot{\vec r}_0(t) = \dot R(t) \vec c = \dot R(t)R(t)^{-1}(\vec r(t) - \vec r_0(t)) = \vec \omega(t)\times (\vec r(t) - \vec r_0(t))$$ (la última igualdad es un resultado estándar sobre rotaciones) por lo que tenemos el resultado final $$\dot{\vec r}(t) =\dot{\vec r}_0(t)+\vec \omega(t)\times (\vec r(t) - \vec r_0(t))$$ que es lo que estabas buscando creo.

¡Salud!

La relación entre la velocidad angular$\vec{\omega}$, posición$\vec{r}$(suponiendo rotación alrededor del origen) y velocidad tangencial$\vec{v}$(que es lo que estás pidiendo) está dado por

$\vec{\omega}=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{\mid\vec{r}\mid^2},$

dónde$\times$es el producto cruz y$\mid\vec{r}\mid^2$la norma del vector de posición al cuadrado. Puede escribir esta ecuación por componentes para obtener tres ecuaciones para tres variables desconocidas (los componentes de$\vec{v}$) y resolverlos algebraicamente.