Valores propios del hamiltoniano en óptica cuántica [cerrado]

Este tipo de problemas se resuelven generalmente mediante una transformación unitaria en el hamiltoniano. Tu puedes elegir

$$U=\begin{bmatrix}\cosh(r)&e^{-i\theta}\sinh(r)\\e^{i\theta}\sinh(r)&\cosh(r)\end{bmatrix}$$ donde los parametros $\theta$y $r$debe determinarse tomando $$\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=U\begin{bmatrix}C\\D\end{bmatrix}$$ y uno tiene un nuevo hamiltoniano con el operador $C$y $D$. Entonces, su elección de parámetro es la que establece en cero los términos cruzados como $C^\dagger D$y $D^\dagger C$. De esta manera te quedas con la forma diagonal. $$H'=\lambda_CC^\dagger C+\lambda_DD^\dagger D+E_0.$$ ser $E_0$una constante. Su resultado final se escribirá como $E_{n_1,n_2}=n_1\lambda_C+n_2\lambda_D+E_0$.

Puede ver por inspección que su hamiltoniano conserva el número total de cuantos$N=n_a+n_b$. Así, trabajando en un subespacio atravesado por

$$\vert n_a\rangle\vert n_b\rangle \, ,\qquad n_a+n_b=N$$ puede obtener fácilmente la forma matricial de su hamiltoniano.

Asumir que su espacio de Hilbert es bidimensional (como su problema sugiere que solo hay dos valores propios) significaría que$N=1$y que una base para su problema es$\{\vert 0\rangle \vert 1\rangle,\vert 1\rangle \vert 0\rangle\}$entonces no es mucho trabajo verificar que tiene los valores propios correctos al diagonalizar el correspondiente$2\times 2$matriz usando la acción estándar

$$A^\dagger \vert n_a\rangle = \sqrt{n_a+1}\vert n_a+1\rangle \qquad A\vert n_a\rangle = \sqrt{n_a}\vert n_a-1\rangle\, ,$$ etc.

En términos más generales, no hay nada en su problema que sugiera que necesita restringir el Hilbert a la dimensión$2$(excepto el enunciado de los 2 autovalores).

En principio, podría repetir el proceso dentro de un$3$espacio de Hilbert -dimensional para$N=2$atravesado por$\{\vert 2\rangle\vert 0\rangle, \vert 1\rangle \vert 1\rangle,\vert 0\rangle\vert 2\rangle\}$, y obtener el$3$autovalores para este sistema al diagonalizar el$3\times 3$representación matricial de$H$en este espacio Por supuesto, también podría hacer lo mismo para cualquier$N$, obteniendo un$N+1$espacio dimensional de Hilbert y$N+1$valores propios.

aquí hay algunos pensamientos.

El hamiltoniano que está utilizando debe tener algunas funciones propias, que están determinadas por la acción de los operadores de creación-aniquilación.$A,A^{\dagger},B,B^{\dagger}$en ellos. En cierta notación, uno tendría algo como

$$A|\lambda>_A \sim \sqrt{\lambda}|\lambda-1>_A$$ $$A^{\dagger}|\lambda>_A \sim \sqrt{\lambda+1}|\lambda+1>_A$$ $$B|\lambda>_B \sim \sqrt{\lambda}|\lambda-1>_B$$ $$B^{\dagger}|\lambda>_B \sim \sqrt{\lambda+1}|\lambda+1>_B$$ donde los subíndices indican la diferencia entre las funciones propias de A y B. Además, tenga en cuenta que los pares de A y B satisfacen un conjunto de relaciones de conmutación que se lee $$[A,A^{\dagger}]=[B,B^{\dagger}]=1$$ Ahora bien, estas funciones propias también son funciones propias del hamiltoniano. Esto significa que si actúa con el hamiltoniano (como una matriz de 4x4) en estas funciones propias (como una matriz de columna), puede leer los valores propios del hamiltoniano después de una diagonalización trivial.

Realmente espero que esto ayude con su problema.