Valor medio de la energía en mecánica estadística

Question

Valor medio de la energía en mecánica estadística

Sr. Feynman

No he tomado ninguna clase de Mecánica Estadística, pero al estudiar Estructura de la Materia encontré algunas ideas que no conozco muy bien, relacionadas con el valor promedio de la energía ( $E$ ). Dado un $p(E)$ densidad de probabilidad, la energía media es:

\begin{matrix} (1) & ⟨ mi ⟩ = \frac{\int_{0}^{\infty} mi pag (mi) d mi}{\int_{0}^{\infty} pag (mi) d mi} \end{matrix}

$\begin{equation} \langle E\rangle=\frac{\int\limits_0^\infty Ep(E)dE}{\int\limits_0^\infty p(E)dE} \tag{1} \end{equation}$

Ahora, en dos casos diferentes, la energía promedio se calcula utilizando la distribución de Boltzmann (la energía promedio por modo normal, al derivar Rayleigh Jeans)

pag (mi) \propto {mi}^{- \frac{mi}{k T}}

$\begin{equation} p(E)\propto e^{-\frac{E}{kT}} \end{equation}$ o la distribución de Maxwell-Boltzmann(*) (al derivar

β = \frac{1}{k T}

$\beta=\frac{1}{kT}$ .).

pag (mi) \propto \sqrt{mi} {mi}^{- \frac{mi}{k T}}

$\begin{equation} p(E)\propto\sqrt{E}e^{-\frac{E}{kT}} \end{equation}$ El primer caso produce:

\begin{matrix} (2) & mi = k T \end{matrix}

$\begin{equation} E=kT \tag{2} \end{equation}$

Mientras que el segundo caso produce:

\begin{matrix} (3) & mi = \frac{3}{2} k T \end{matrix}

$\begin{equation} E=\frac{3}{2}kT \tag{3} \end{equation}$

Eso es familiar de la teoría cinética.

Supongo que estoy calculando la energía promedio en dos situaciones diferentes.

¿Puede proporcionar alguna idea física (matemáticamente es bastante clara, las distribuciones son diferentes) sobre por qué estos resultados son diferentes en $(2)$ y $(3)$ ?

(*) _{En realidad no se dice directamente. "Construye" energía media a partir de}

⟨ mi ⟩ = \frac{\int_{0}^{\infty} mi d norte}{\int_{0}^{\infty} d norte}

$\begin{equation} \langle E\rangle=\frac{\int\limits_0^\infty Edn}{\int\limits_0^\infty dn} \end{equation}$ y luego

d n

$dn$ se expresa en términos de

d E

$dE$ y hay esto

\sqrt{E}

$\sqrt{E}$ factor, por lo que supuse que el libro estaba usando implícitamente a Maxwell Boltzmann. ( Brehm, Introducción a la estructura de la materia. Capítulo 2, sección 3, ejemplo 2 )

jose h

Posible duplicado aquí

dave

¿Responde esto a tu pregunta?

E = k T

$E=kT$ o

\frac{3}{2} k T

$\frac32kT$ ?

Respuestas (4)

Valor medio de la energía en mecánica estadística

alto · Answer 1

¿Puede proporcionar alguna comprensión física (matemáticamente es bastante clara, las distribuciones son diferentes) sobre por qué estos resultados son diferentes en (2) y (3)?

En el $kT$ caso hay dos grados de libertad (por ejemplo, partícula de un solo punto en dos dimensiones, por ejemplo, un oscilador armónico simple en una dimensión, etc.). En el $3kT/2$ caso hay tres grados de libertad (por ejemplo, partícula única en tres dimensiones, etc.).

Cada "grado de libertad" contribuye $kT/2$ a la energía media.

Por ejemplo, en el caso de partículas libres: $E(p)=\frac{p^2}{2m}$ . Y $dE \propto pdp$

Entonces, en dos dimensiones:

mi \propto \int d pag pag {mi}^{- mi (pag) / k T} \propto \int d mi {mi}^{- mi / k T} .

$E \propto \int dp p e^{-E(p)/kT} \propto \int dE e^{-E/kT}\;.$

Y, en tres dimensiones:

mi \propto \int d pag {pag}^{2} {mi}^{- mi (pag) / k T} \propto \int d mi \sqrt{mi} {mi}^{- mi / k T} .

$E \propto \int dp p^2 e^{-E(p)/kT} \propto \int dE\sqrt{E} e^{-E/kT}\;.$

En caso de que alguien se esté preguntando, la razón por la cual hay un $p$ en 2D y un $p^2$ en 3D aquí se debe a la densidad de estados, como expliqué en mi respuesta. El número de estados con una energía particular. $E$ de una partícula libre en 2D viene dada por $\frac{p_x^2 + p_y^2}{2m} = E$ , que define un círculo en el espacio de $(p_x, p_y)$ que tiene una circunferencia proporcional a $p = \sqrt{p_x^2 + p_y^2}$ . En 3D, también tienes $p_z$ y estás encontrando el área de la superficie de una esfera, que es proporcional a $p^2$ .
Según tengo entendido, los grados de libertad en mecánica estadística son la dimensión del espacio de fase (el oscilador 1D tiene 2 DoF, mientras que en la mecánica clásica tiene 1 DoF, es decir, la dimensión del espacio de configuración). En cuanto a la respuesta, la comparación entre el caso 2 y 3 muestra que cada distribución surge naturalmente en la descripción de una partícula libre, Boltzmann en el primero, Maxwell-Boltzmann en el segundo. ¿Puedes confirmar que esto es correcto?
No, ese ejemplo que di era incorrecto. El oscilador 1D tiene 2 DoF. Lo siento. Lo corregí.
Dos términos cuadráticos en el hamiltoniano significan dos grados de libertad. Tanto en el caso clásico como en el cuántico, el hamiltoniano para SHO parece $p^2/2m + kx^2/2$ .

Juan cazador · Answer 2

Para el primer caso, la probabilidad de cierta energía comienza alta y se reduce rápidamente (curva roja), por lo que hay una mayor probabilidad de baja energía que de alta energía, para este caso.

Para el segundo caso (azul), la probabilidad de baja energía es baja, pero para energías más altas la probabilidad es mayor que para la curva roja.

Esto hace que la energía promedio sea mayor para el segundo caso.

Si he entendido correctamente la pregunta del OP, esta respuesta no la aborda en absoluto. Se preguntan por qué a veces ven que los libros de texto usan un factor de Boltzmann simple y a veces ven que usan un factor adicional. $\sqrt{E}$ en la probabilidad. La pregunta establece que está bastante claro que los dos le darán resultados diferentes, y la pregunta es más sobre la interpretación de las dos ecuaciones.
Confirmo que sasquires tiene razón. Estoy preguntando por qué para cada situación usamos la distribución respectiva y alguna idea sobre el significado físico.

sasquires · Answer 3

Brevemente, ninguna expresión es correcta en general. Hay dos cuestiones básicas:

Los factores de Boltzmann no son probabilidades sino relaciones entre probabilidades.
Los factores de Boltzmann son proporcionales a la probabilidad de que un estado particular con energía $E$ esta ocupado.

Debido a esto, ambas integrales deben tomarse sobre el conjunto de todos los estados (o densidad de estados o espacio de fase) en lugar de sobre $E$ sí mismo. No existe una relación universal entre $E$ y $T$ por la importancia de la densidad de estados.

Hay algunos tecnicismos según el conjunto del que estés hablando, pero no vale la pena analizarlos aquí.

Aparte, la entropía es una cantidad más fundamental que la temperatura, y también está muy relacionada con el conjunto de estados disponibles. Esto explica por qué la mecánica estadística es tan rica; la mayor parte tiene que ver con la relación entre energía y entropía, que están estrechamente relacionadas con los estados disponibles para el sistema.

roger vadim · Answer 4

TL;DR: Densidad de estados

La distribución de Boltzmann da una probabilidad de un microestado $n$ en términos de su energía $E_n$ :

{pag}_{norte} = Z^{- 1} {mi}^{- \frac{{mi}_{norte}}{k_{B} T}} .

$p_n=Z^{-1}e^{-\frac{ E_n}{k_BT}}.$ En el caso de la distribución de Maxwell-Boltzmann, los estados son continuos y están etiquetados por sus velocidades, de modo que tenemos

pag (v_{X}, v_{y}, v_{z}) = Z^{- 1} {mi}^{- \frac{mi (v_{X}, v_{y}, v_{z})}{k_{B} T}}

$p(v_x,v_y,v_z)=Z^{-1} e^{-\frac{ E(v_x,v_y,v_z)}{k_BT}}$ El promedio de cualquier función de energía,

f (E)

$f(E)$ , es el dado por

⟨ F (mi) ⟩ = Z^{- 1} \int_{- \infty}^{+ \infty} d v_{X} \int_{- \infty}^{+ \infty} d v_{y} \int_{- \infty}^{+ \infty} d v_{z} F [mi (v_{X}, v_{y}, v_{z})] {mi}^{- \frac{mi (v_{X}, v_{y}, v_{z})}{k_{B} T}} = Z^{- 1} \int_{0}^{+ \infty} d ϵ ρ (ϵ) F (ϵ) {mi}^{- \frac{ϵ}{k_{B} T}},

$\langle f(E)\rangle = Z^{-1}\int_{-\infty}^{+\infty} dv_x\int_{-\infty}^{+\infty}dv_y\int_{-\infty}^{+\infty} dv_z f[E(v_x,v_y,v_z)] e^{-\frac{ E(v_x,v_y,v_z)}{k_BT}}=Z^{-1}\int_0^{+\infty}d\epsilon\rho(\epsilon)f(\epsilon)e^{-\frac{\epsilon}{k_BT}},$ donde la densidad de estados es

ρ (ϵ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} d v_{X} \int_{- \infty}^{+ \infty} d v_{y} \int_{- \infty}^{+ \infty} d v_{z} d [ϵ - mi (v_{X}, v_{y}, v_{z})] .

$\rho(\epsilon)=\int_{-\infty}^{+\infty} dv_x\int_{-\infty}^{+\infty}dv_y\int_{-\infty}^{+\infty} dv_z\delta[\epsilon-E(v_x,v_y,v_z)].$ En caso de

E = \frac{m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2})}{2}

$E=\frac{m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}{2}$ obtenemos

ρ (ϵ) = 4 π \sqrt{\frac{metro}{2 ϵ}} .

$\rho(\epsilon)=4\pi\sqrt{\frac{m}{2\epsilon}}.$ Si ahora queremos calcular la energía promedio, establecemos

f (ϵ) = ϵ

$f(\epsilon)=\epsilon$ en las ecuaciones anteriores y obtener

⟨ mi ⟩ \propto \int_{0}^{+ \infty} d ϵ \sqrt{ϵ} {mi}^{- \frac{ϵ}{k_{B} T}} .

$\langle E\rangle \propto \int_0^{+\infty}d\epsilon\sqrt{\epsilon}e^{-\frac{\epsilon}{k_BT}}.$

Observación
Dependiendo del libro de texto, la densidad de estados puede introducirse de manera diferente (es decir, sin usar la función delta) y los coeficientes pueden diferir. Sin embargo, la idea sigue siendo la misma: reemplazar la suma de estados por la integración de energía.

Valor medio de la energía en mecánica estadística

Sr. Feynman

jose h

dave

Respuestas (4)

alto

sasquires

Sr. Feynman

alto

alto

Juan cazador

sasquires

Juan cazador

Sr. Feynman

sasquires

roger vadim

¿Qué significa dividir por la degeneración del estado en este extracto de libro de texto?

¿Es necesaria la extensividad de la energía en termodinámica?

¿Qué significa el término e−hν/kTe−hν/kTe^{-h\nu /kT} en la función de distribución de Boltzmann y qué funciones desempeña? [duplicar]

Equivalencia calor-trabajo en termodinámica de gases ideales

Constante del demonio de Maxwell (equivalencia de información-energía)

¿La energía libre de Gibbs no es o es menos importante para los conjuntos canónicos? Si es así, ¿por qué?

¿Cómo puedo explicar la dependencia energética de la distribución de Maxwell-Boltzmann?

Física estadística: ¿Cómo encuentro el número de partículas que tienen energía por encima o por debajo de un nivel?

máx. Entropía = mín. ¿Energía?

Densidad de fonones de estados