Física estadística: ¿Cómo encuentro el número de partículas que tienen energía por encima o por debajo de un nivel?

Digamos que tengo un gas compuesto de átomos o moléculas. ¿Cómo encuentro la cantidad de átomos en ese conjunto que tienen energía por encima o por debajo de una cantidad específica, digamos E? Es decir, ¿cuál es la función que tendré que integrar de 0 a E o E a infinito (si eso es lo que tengo que hacer), para encontrar el porcentaje de partículas en el conjunto que están por encima de un nivel de energía, en el caso de conjunto microcanónico, canónico y gran canónico? ¿Es la distribución de energía de Maxwell-Boltzmann? ¿O la función de partición? ¿O la densidad de estados en función de la energía?

gracias

Respuestas (1)

Si su densidad de estados es D ( mi ) y tienes una distribución de energía Boltzmann d norte = A Exp ⁡ ( − mi k T ) d mi y un numero norte de átomos/moléculas, entonces el número total norte determina la constante A por norte = A ∫ 0 ∞ D ( mi ) Exp ⁡ ( − mi k T ) d mi . Obtienes el número de átomos norte 1 con energías hasta mi 1 por la integral

norte 1 = A ∫ 0 mi 1 D ( mi ) Exp ⁡ ( − mi k T ) d mi
y el numero norte 2 de átomos con energías superiores mi 1 por la integral
norte 2 = A ∫ mi 1 ∞ D ( mi ) Exp ⁡ ( − mi k T ) d mi

¿Es la constante A la función de partición? Y además, ¿cómo hago una integral gaussiana definida e impropia como esta?
¿Tengo que ponerlos en Mathematica o algo así?
Puedes considerar ∫ 0 ∞ D ( mi ) Exp ⁡ ( − mi k T ) d mi ser la función de partición del conjunto canical. ¡No hay problemas con las integrales gaussianas! Una vez que tienes la densidad de estados D ( mi ) , por ejemplo, relacionado con los estados de energía cinética de un gas ideal, se obtiene una integral simple con un factor exponencial que se puede resolver analíticamente.
Bueno, no estoy seguro, pero ¿cómo resuelvo una integral gaussiana de 0 a infinito así? Quiero decir que puedo ver si
Accidentalmente presioné Enter :( quiero decir que no sé cómo resolver una integral gaussiana de E0 a infinito o de 0 a E0 así? ¿O tal vez obtenemos otra integral? Traté de hacer el cálculo, pero siempre llego a un integral gaussiana...
¿Qué obtienes por la densidad de estados? D ( mi ) ?
Tomé la densidad de estados de una partícula libre:
2 V ( 2 metro π ) 3 / 2 mi π
¿Es eso correcto para N partículas?
el
mi
combinado con la función exp me dejan con una integral difícil...
La dependencia de raíz cuadrada para la densidad de estados es correcta. También la m elevada a 3/2. Pero falta la constante de Planck en el factor. La integral con la raíz cuadrada de 0 a ∞ es un número numérico simple que implica π resultante de una función gamma. No he encontrado (todavía) una respuesta simple para las otras integrales.
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