Validez de las transformaciones de coordenadas en el límite asintótico

He estado trabajando en algunas soluciones de agujeros negros planos en$4D$supergravedad y resolviendo las ecuaciones de movimiento he encontrado la métrica que es de la forma:

$$\begin{equation} ds^2 = \dfrac{W(r)}{H(r)} dt^2 + \dfrac{H(r)}{ W(r) r^4} dr^2 + H(r)(dx^2 + dy^2 ) \end{equation}$$

Dónde$r$es una coordenada transversal,$r \in [0,\infty)$y las coordenadas$x,y$ir a lo largo de la brana$x,y \in (-\infty, \infty)$.

donde las funciones$H(r)$y$W(r)$son un poco desordenados pero ambos se comportan como:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \lim_{r \rightarrow \infty} H(r) &= \text{const.} + {\mathcal{O}} \left(\dfrac{1}{\sqrt{r}} \right) \\ \lim_{r \rightarrow \infty} W(r) &= \text{const.} + {\mathcal{O}} \left(\dfrac{1}{r} \right) \end{aligned} \end{equation}$$

Si tomo el límite asintótico, ($r \rightarrow \infty$) entonces la métrica es de la forma:

$$\begin{equation} ds^2 = - dt^2 + \frac{1}{r^4} dr^2 + dx^2 + dy^2. \end{equation}$$

Mi pregunta es, ¿es esto lo mismo que la métrica de Minkowski del semiplano superior?

Si hago la transformación de coordenadas

$$\begin{equation} r = z^{-1} \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{dr^2}{r^4} = dz^2 \end{equation}$$

entonces podemos recalcular los límites para encontrar:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \lim_{z \rightarrow 0} H(z) &= \text{const.} + {\mathcal{O}} (\sqrt{z}) \\ \lim_{z \rightarrow 0} W(z) &= \text{const.} + {\mathcal{O}} \left(z \right) \end{aligned} \end{equation}$$

enchufando esto de nuevo en la métrica en el límite de$z \rightarrow 0$nos da algo que ahora se parece a la métrica estándar de Minkowski del semiplano superior:

$$\begin{equation} ds^2 = - dt^2 + dz^2 + dx^2 + dy^2 \end{equation}$$

pero$z$se dirige desde$\infty$hacia$0$. ¿La coordenada invertida diferencia esta métrica de Minkowski? Si es así, ¿alguien puede explicar por qué?