Uso de Velocidad = Desplazamiento/Tiempo para obtener el intervalo de tiempo a velocidad relativista

Question

Uso de Velocidad = Desplazamiento/Tiempo para obtener el intervalo de tiempo a velocidad relativista

Raghav Gupta

Digamos que estoy en una nave espacial. Otro barco se mueve con respecto a mí en una dirección que se aleja directamente de mí, con una velocidad relativa (comparable a c) que determino midiendo el efecto doppler. Mi nave espacial viene con un sistema de coordenadas muy grande adjunto, con las coordenadas escritas en algunos de los puntos y relojes sincronizados mantenidos en estos puntos. El otro barco se mueve entre dos de esos puntos.

El paso del barco por estos puntos constituyen dos eventos, y obtengo directamente el intervalo de tiempo y el intervalo de espacio entre estos puntos.

Así que ahora, si uso la fórmula velocidad = desplazamiento/tiempo para obtener indirectamente la hora, ¿obtengo la hora correcta (que creo que podría medir un reloj en la otra nave) o obtendré la hora incorrecta (que creo que mi sistema de relojes me habrán dado)? Todavía tengo que comenzar la física universitaria, por lo que puedo estar equivocado en algunas cosas. Siéntase libre de pedir cualquier aclaración.

Respuestas (1)

Uso de Velocidad = Desplazamiento/Tiempo para obtener el intervalo de tiempo a velocidad relativista

Juan Rennie · Answer 1

Llamemos a los dos puntos $A$ y $B$ , y los llevaremos a ser una distancia $dx$ aparte según lo medido en su marco.

En tu marco mides la otra nave espacial para tomar un tiempo $dt$ para obtener de $A$ a $B$ , y dado que la otra nave espacial viaja a una velocidad $v$ con respecto a ti, ese tiempo está dado por:

\begin{matrix} (1) & d X = v d t \end{matrix}

$dx = v~dt \tag{1}$

El tiempo adecuado , $d\tau$ , para la trayectoria entre los dos puntos viene dada por la métrica de Minkowski:

\begin{matrix} (2) & C^{2} d τ^{2} = C^{2} d t^{2} - d X^{2} - d y^{2} - d z^{2} \end{matrix}

$c^2 d\tau^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 \tag{2}$

y supondremos que todo el movimiento es a lo largo de la $x$ eje asi $dy = dz = 0$ . Luego sustituyendo $dx = vdt$ de (1) encontramos que el tiempo apropiado es simplemente:

\begin{matrix} (3) & d τ = d t \sqrt{1 - v^{2} / C^{2}} = \frac{d t}{γ} \end{matrix}

$d\tau = dt\sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{dt}{\gamma} \tag{3}$

Entonces, como estoy seguro de que sospechaste, dividir la distancia por la velocidad no te da el tiempo adecuado, te da el tiempo de coordenadas .

Vale la pena considerar lo que sucede en el marco de descanso de la nave espacial en movimiento. En este marco, la nave espacial está estacionaria en el origen, por lo que no se mueve en el espacio y $dx'=0$ . El punto $A$ pasa la nave espacial en algún punto $(t' 0)$ y el punto $B$ pasa en el mismo punto en el espacio pero en un tiempo posterior $(t' + dt', 0)$ . Luego, usar la métrica (2) para calcular el tiempo adecuado simplemente da:

\begin{matrix} (4) & d τ = d t^{'} \end{matrix}

$d\tau = dt' \tag{4}$

Entonces, el tiempo propio entre los dos puntos del espacio-tiempo es igual al tiempo registrado por la nave espacial. Este es un resultado general en relatividad: el tiempo propio es el tiempo transcurrido para que el observador inercial viaje entre los dos puntos.

Y un último punto mientras estamos aquí. Si igualamos las expresiones (3) y (4) por el tiempo propio obtenemos:

\begin{matrix} (5) & d t^{'} = \frac{d t}{γ} \end{matrix}

$dt' = \frac{dt}{\gamma} \tag{5}$

que es la expresión bien conocida para la dilatación del tiempo de un observador en movimiento.

No sé mucho sobre la métrica de minkowski, pero la he visto en derivaciones para la dilatación del tiempo en este mismo sitio. De todos modos, puedo darle sentido a tu respuesta.
Solicito una aclaración. Si uso su primera expresión para calcular la velocidad, con mis medidas de intervalo de tiempo e intervalo de espacio (método indirecto), ¿obtengo la misma velocidad que obtengo con el efecto doppler (método directo)? ¿Y cómo funcionaría esto si lo mirara desde la otra nave, usando el mismo sistema de coordenadas pero reloj dentro de la nave (hora adecuada)?
@RaghavGupta Depende del estado de movimiento del reloj de referencia para el cambio Doppler en relación con su reloj. Tomando su marco como el marco de "descanso", si usa el radar Doppler, haciendo rebotar una señal basada en su reloj local del objeto en movimiento, obtiene el mismo resultado que su método "indirecto". Esto es casi por definición, porque el radar y los métodos relacionados son la forma de construir coordenadas en la relatividad especial. Si, por otro lado, está midiendo el efecto Doppler observando un reloj que se mueve con el objeto, también debe tener en cuenta su dilatación del tiempo.
@RaghavGupta, la ecuación Doppler habitual debe modificarse para tener en cuenta los efectos relativistas. Consulte Derivación del efecto Doppler relativista para obtener más información.

Uso de Velocidad = Desplazamiento/Tiempo para obtener el intervalo de tiempo a velocidad relativista

Raghav Gupta

Respuestas (1)

Juan Rennie

Raghav Gupta

Raghav Gupta

Juan Doty

Juan Rennie

Relatividad especial y marcos de referencia acelerados

Velocidad relativista del marco del centro del momento

¿Por qué chocar una partícula en movimiento con una partícula en reposo, en lugar de dos partículas en movimiento?

Comprender el valor del acelerómetro

Invariancia de Lorentz de la ecuación de onda

Colisión Elástica Relativista

Postulados de la Relatividad Especial

¿Exactamente cómo se deduce la velocidad constante medida de la luz a partir de la ecuación de Maxwell?

Cinemática relativista - Desintegración de partículas de 2 cuerpos

Relojes en relatividad especial