Unicidad de la representación de vectores propios en un conjunto completo de observables compatibles

Sakurai afirma que si tenemos un conjunto completo y máximo de observables compatibles, digamos A , B , C . . . Entonces, un vector propio representado por | a , b , C . . . . > , dónde a , b , C . . . son valores propios respectivos, es único. ¿Por que es esto entonces? ¿Por qué no puede haber dos vectores propios con los mismos valores propios para cada observable? ¿La maximalidad del conjunto tiene algún papel que jugar en él?

Cotización cruzada a TP.SE.

Respuestas (2)

Suponga que tiene un conjunto máximo A , B , C , … y dos estados ϕ 1 y ϕ 2 con el mismo conjunto de valores propios en ese conjunto. Luego construye el operador Z = | ϕ 1 ⟩ ⟨ ϕ 1 | . Convéncete de que distinguiría entre ϕ 1 y ϕ 2 , y que conmutaría con todos A , B , C , … --- es decir, su conjunto original no era máximo.

Pero Z no necesita ser un Observable. Sakurai habla de un conjunto máximo de observables compatibles.
@Lakshya: cualquier proyector ortogonal es observable; los proyectores unidimensionales son obviamente ortogonales
@Christoph ¿Por qué un proyector ortogonal es observable? Es cierto que cualquier proyector es ortogonal si es hermético y también es cierto que la mayoría de los observables son hermíticos, pero no veo ninguna razón por la que un proyector ortogonal deba ser un observable. Por favor explique un poco sobre esto. Gracias.
@Lakshya: ¿Cuál es su definición de observable?
@Christoph Un observable es una cantidad física que se puede medir. En QM, generalmente se consideran observables hermitianos porque son los más importantes. Entonces, un operador hermitiano observable en mi pregunta, pero un operador hermitiano no necesita ser un observable. ¿Qué quiere decir con 'cualquier proyector ortogonal es un observable'? La amabilidad de aclarar.
@Lakshya: Si | ψ ⟩ es su estado y PAG ϕ = | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | , entonces el valor esperado ⟨ ψ | PAG ϕ | ψ ⟩ = | ⟨ ψ | ϕ ⟩ | 2 es una amplitud de transición (al cuadrado). Tal vez eso ayude. Es divertido, hay un libro de Schwinger, que hace mucho hincapié en el uso de las matemáticas simples relacionadas con esto.
@Lakshya: un observable es solo un operador lineal autoadjunto, por definición. Entonces, como dice Christoph, los proyectores unidimensionales son obviamente observables.
Lakshya, una interpretación física para usted: los valores propios de un operador de proyección son 0 y 1, por lo que pueden considerarse valores verdaderos/falsos. Los operadores de proyección son tan significativos físicamente como los observables de posición y momento. En cierto sentido, son más físicos, ya que los experimentos de laboratorio miden verdadero/falso más fácilmente que la ubicación precisa.

La respuesta se basa en una propiedad algebraica de unicidad de vectores propios y valores propios.

Caso no degenerado

Supongamos que existen dos vectores propios y que el espectro no es degenerado. Llamemoslos | a , b ⟩ y | a , b ⟩ ′ (Considero solo un par de observables compatibles en aras de la simplicidad). Si afirma que estos dos vectores propios son independientes, de lo contrario existe una constante C tal que | a , b ⟩ = C | a , b ⟩ ′ , debes tener

⟨ a , b | A | a , b ⟩ ′ = a ⟨ a , b | a , b ⟩ ′ = 0

y de manera similar

′ ⟨ a , b | A | a , b ⟩ = a ′ ⟨ a , b | a , b ⟩ = 0

y esto implicará

′ ⟨ a , b | A | a , b ⟩ = ⟨ a , b | A | a , b ⟩ ′ = ( ⟨ a , b | A | a , b ⟩ ′ ) ∗ = 0

pero el único operador que tiene esta propiedad es A = 0 y esto es inconsistente con la hipótesis de partida. Este argumento puede repetirse también para B probando la aseveración.

caso degenerado

Cuando hay una degeneración, a un solo valor propio le corresponderá más que un vector propio. Entonces, supongamos que estos egievenctores para el valor propio a son | a , b , 1 ⟩ y | a , b , 2 ⟩ . Suponemos que somos capaces de escribir a partir de ellos un conjunto de dos autovectores ortogonales y normalizados, por ejemplo, a través de una descomposición de Gram-Schmidt, que abarca dicho subespacio bidimensional.

Ahora, el argumento anterior se puede repetir para cada vector propio en el subespacio ya que, si hay un tercer vector propio, más allá de los que forman el subespacio bidimensional, esto será suficiente para probar que A = 0 .

Por supuesto, todo esto es fácil de extender a cualquier número de operadores.

El espectro puede estar degenerado.
He excluido esto desde el principio, pero agregar una degeneración solo puede complicar más la prueba sin cambiar lo esencial. Solo necesita una descomposición de Gram-Schmidt en los diferentes subespacios.
aun no te entiendo En el caso no degenerado, es absolutamente trivial, ya que sabemos que para un observable compatible, los vectores propios son los mismos en este caso y, por lo tanto, si tiene |a,b>, cualquier otro vector propio debe ser diferente porque ningún otro vector propio tiene un valor propio a wrt A. Hice la pregunta solo para el caso no trivial y, al mismo tiempo, mantuve la pregunta como general.
He arreglado esto. Pero mi opinión es que esta pregunta es realmente trivial.
Tienes que probar que si el conjunto es máximo, entonces cada vector propio común tiene una representación única en términos de |a,b,c...>. Por ejemplo, en su caso especial, el conjunto máximo se reduce a [A,B]=0. Ahora tienes que mostrar que, en tu ejemplo, |a,b,1> y |a,b,2> son de hecho el mismo vector, es decir, cualquier representación en términos de |a,b>, donde a y b son fijos números, es único. No tienes que probar que |a,b,1> es único y |a,b,2> es único. ¡Eso es trivial! Y ahí es donde creo que hay que usar la maximalidad del conjunto de observables compatibles. Ver la otra solución.
Unicidad de la representación de vectores propios en un conjunto completo de observables compatibles
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