Unicidad de la clase de equivalencia de marcos inerciales

Lo que sigue es una versión de la declaración que desea probar que asume que dos marcos cualesquiera están relacionados por una transformación de espacio-tiempo que deja el tiempo invariable hasta la traducción y que preserva las distancias euclidianas. Debido a estas hipótesis, la siguiente declaración es una respuesta newtoniana a la pregunta. Estoy seguro, sin embargo, de que se puede construir una respuesta relativista especial similar.

El siguiente teorema esencialmente dice que si se requiere que se conserve incluso la Primera Ley de Newton en la transformación entre amigos, entonces los marcos deben estar relacionados por una transformación de Galileo, por lo que deben estar en la misma clase de equivalencia.

Teorema. Sea una isometría euclidiana dos veces diferenciable, que conserva la orientación y dependiente del tiempo$T:\mathbb R\to \mathrm{ISO}(3)$ser dado, y dejar$t_0$ser un número real. Si la transformación del espacio-tiempo

$$\begin{align} G(t,\mathbf x) = (t+t_0, T(t)(\mathbf x)) \end{align}$$ conserva la primera ley de Newton, entonces $G$es galileo.

Prueba. $T(t)$se puede escribir como una rotación dependiente del tiempo más una traslación dependiente del tiempo:

$$\begin{align} T(t)(\mathbf x) = R(t)\mathbf x + \mathbf c(t). \end{align}$$ Por lo tanto, bajo la acción de $G$, Una línea recta $\mathbf x_0 + t\mathbf v_0$se mapea en la siguiente curva: $$\begin{align} R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t) \end{align}$$ Si $G$conserva la Primera Ley de Newton, entonces esta curva transformada debe tener aceleración cero sin importar cuál $\mathbf x_0$y $\mathbf v_0$nosotros elegimos. De este modo, $$\begin{align} \frac{d^2}{dt^2} \big[R(t)(\mathbf x_0 + (t+t_0)\mathbf v_0) + \mathbf c(t)\big] = \mathbf 0, \end{align}$$ para todos $\mathbf x_0,\mathbf v_0\in\mathbb R^3$. Distribuyendo las derivadas en el lado izquierdo se obtiene $$\begin{align} \ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 + \ddot{\mathbf c}(t) = \mathbf 0 \end{align}$$ Elegir $\mathbf x_0 = \mathbf v_0 = \mathbf 0$da $\ddot{\mathbf c}(t) = 0$lo que implica que existen vectores constantes $\mathbf c$y $\mathbf v$tal que $\mathbf c(t) = \mathbf c + t \mathbf v$. El uso de esto da la restricción reducida $$\begin{align} \ddot R(t) \mathbf x_0 + \ddot R(t) (t+t_0)\mathbf v_0 + 2\dot R(t) \mathbf v_0 = \mathbf 0. \end{align}$$ Ahora, recogiendo $\mathbf v_0 = \mathbf 0$da $\ddot R(t) \mathbf x_0 = \mathbf 0$para todos $\mathbf x_0$, y esto a su vez significa que $\ddot R(t) = 0$. Usar esto reduce aún más a $$\begin{align} \dot R(t)\mathbf v_0 = \mathbf 0 \end{align}$$ para todos $\mathbf v_0$, y esto implica que $\dot R(t) = 0$. Esto significa que hay una rotación constante. $R$tal que $R(t) = R$. Poniendo todo esto junto, encontramos que nuestra isometría original $T(t)$toma la siguiente forma: $$\begin{align} T(t) = R\mathbf x + \mathbf c + t\mathbf v \end{align}$$ y por lo tanto $G$es galileano, es decir, consiste solo en una traslación de tiempo, una traslación espacial constante, un impulso galileano por velocidad constante y una rotación constante. $\blacksquare$.

Considere la inversión de tiempo o las transformaciones de paridad.

Debido a que parte de la física no tiene esta simetría, existen clases separadas no equivalentes de marcos de inercia.

En cada clase, la física aparecerá igual, y puedes rotar, trasladar o impulsar de un sistema de coordenadas de inercia a otro en la misma clase. Pero la física parecerá diferente en comparación con la otra clase de marcos inerciales.