¿Cómo contribuyen las estadísticas de Fermi-Dirac a los fermiones en el principio de exclusión de Pauli?

dos fermiones no pueden tener los mismos números cuánticos, lo que supuestamente es lo mismo que decir que dos fermiones no pueden estar en el mismo estado cuántico (¿están diciendo efectivamente lo mismo)?

Sí, significan lo mismo. Un estado cuántico está determinado únicamente por un conjunto de números cuánticos.

Los fermiones de los que hablo son quarks, no electrones.

No importa. Los electrones y los quarks son ambos fermiones. El principio de exclusión de Pauli se aplicará a dos electrones idénticos oa dos quarks idénticos . No se aplicará entre un electrón y un quark ya que son partículas distintas (masa distinta).

Y los fermiones son partículas con giros semienteros que obedecen a la estadística de Fermi-Dirac. Por favor, explique qué son las estadísticas de Fermi-Dirac,

Así que hay tres niveles en esto:

1. Bosones vs fermiones.

Si tienes dos partículas ($1$y$2$) con funciones de onda$\phi$y$\psi$, tienes que describir el sistema como una superposición de [caso donde la partícula$1$tiene función de onda$\phi$Y partícula$2$tiene función de onda$\psi$] Y viceversa.

Físicamente, esto se debe a que nosotros, los experimentadores, hacemos el etiquetado y, por lo tanto, no debería tener ningún efecto sobre el sistema en sí y su evolución. Las partículas elementales son indistinguibles, por lo que no podemos etiquetarlas una vez y esperar que "mantengan" su etiqueta.

Entonces la función de onda total$\Psi(1,2)$será:

$$\Psi(1,2) = \phi(1)\psi(2) \pm \phi(2)\psi(1).$$ Para partículas idénticas$\psi = \phi$y por lo tanto el$\pm$determina si las dos partículas pueden coexistir o no. El caso del signo más significa que pueden coexistir y se llaman bosones , mientras que el signo menos te da un cero y, por lo tanto, no pueden coexistir y se llaman fermiones .

Un buen ejemplo es considerar dos electrones en dos estados de un pozo cuadrado, y puedes ver que para el$-$signo ("antisimétrico" porque$\Psi$recoge un signo menos general en el intercambio de partículas$1\leftrightarrow$2) la probabilidad de encontrar las partículas en la misma posición$x=y$siempre es exactamente cero:

El argumento anterior está un poco simplificado, pero puede derivarse rigurosamente de la topología del intercambio de partículas .

Los requisitos anteriores suelen resumirse como relaciones de conmutación y anticonmutación:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \text{bosons} \Leftrightarrow \left [ a,a^\dagger \right ] = 0, \\ \text{fermions} \Leftrightarrow \left \{ a,a^\dagger \right \} = 0. \end{gathered} \end{equation}$$

2. Teorema de la estadística de espín.

El teorema de la estadística de espín, esencialmente (después de muchas matemáticas, pruebas y demás) implica estas relaciones para la creación ($a^\dagger$) y aniquilación ($a$) operadores de partículas (más correctamente campos ) con momento angular$j$:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \text{for bosons: } \quad \left [ a, a^\dagger \right ] \propto 1 - (-1)^{2j} , \\ \text{for fermions: } \quad \left \{ a, a^\dagger\right \} \propto 1 - (-1)^{2j}, \end{gathered} \end{equation}$$

y, para que coincidan con las relaciones anteriores, se obtiene que los fermiones deben satisfacer$2j \in \mathbb{Z} \implies j \in \mathbb{Z}/2$. Por lo tanto, los fermiones tienen espín semientero , porque$j$, en ausencia de cualquier otro momento angular (orbital), es solo el giro.

3. Distribución de partículas.

Cualquier sistema de una sola partícula (que no interactúa) se describe mediante la siguiente matriz de densidad térmica, que tiene distribución de Boltzmann :

$$\begin{equation} \mathrm{e}^{-\beta (H-\mu N)} = \sum_i\mathrm{e}^{-\beta (E_i-\mu n_i)}\,|n_i\rangle\langle n_i|, \end{equation}$$

porque es de una sola partícula, el operador numérico$\hat N$te dio$n_i|n_i\rangle$y el operador energético (Hamiltoniano)$\hat H|n_i\rangle$te dio$E_i |n_i\rangle$.

Ahora quiero definir la ocupación promedio de un estado, es decir (partículas)/(estados),$f(E)$:

$$\begin{equation} f = \bar{n} = \frac{1}{\text{total}}\sum_j n_j P(n_j) = \frac{1}{{\sum_j \mathrm{e}^{-n_j(E_j - \mu)/ k_B T}}}\sum_j \langle n_j| \,\mathrm{e}^{-(H - \mu N)/k_B T} n |n_j \rangle = \\ \frac{1}{Z}\sum_j n_j P(n_j), \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} P(n) = \frac{1}{Z}\, \mathrm{e}^{-n(E-\mu)/k_B T} \quad \text{with} \quad Z = \sum_n \mathrm{e}^{-n(E-\mu)/k_BT} = \sum_n \left ( \mathrm{e}^{-r} \right )^{n}, \end{equation}$$ $P$es la probabilidad de encontrar una partícula a la energía$E$(equivale al número$n$), y$Z$la función de partición.

Dijimos que los fermiones no pueden coexistir, por lo que la suma de los estados tiene que ser mayor$0$o$1$, porque cualquier cosa$\geq 2$le dará una función de onda neta cero (vea el primer punto). Esto restringe la suma$Z= \sum_{n=0}^1 r^n = 1 + r$y da como resultado:

$$\begin{equation} \begin{gathered} \bar{n} = \sum_{n=0}^1 n\,P(n) = \frac{1}{Z}\,\mathrm{e}^{-(E-\mu)/k_BT} = \frac{r}{1+r} \\ \Rightarrow \bar{n} = f_{\text{FD}} = \frac{1}{\mathrm{e}^{(E-\mu)/k_B T} + 1}. \end{gathered} \end{equation}$$

Así que aquí es donde viene la función de distribución de Fermi-Dirac (FD).

Se deriva del principio de exclusión de Pauli y, por lo tanto, es compatible con él. Si lo traza (abajo, para una temperatura distinta de cero), verá que$f$es a lo sumo uno para fermiones: puede tener máximo$1$partícula por estado cuántico.

Creo que la estadística de Fermi-Dirac se refiere a la función de distribución de Fermi-Dirac:

$$f(E) = \frac{1}{1+\exp\left(\frac{E-\mu}{kT} \right)},$$

y esta función no excede uno, lo que significa que nunca hay más de una partícula en un determinado estado cuántico, a diferencia del caso de la función de distribución de Bose-Einstein.

El estado cuántico siempre se define en términos de números cuánticos, y el giro es siempre uno de los números cuánticos bien definidos.

¿Quieres saber cómo se relaciona ese giro de medio entero con tal función de distribución?

En general, espín medio entero -> Principio de exclusión de Pauli -> Función de distribución de Fermi-Dirac .

La relación spin medio entero -> Principio de exclusión de Pauli se describe aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Spin-statistics_theorem

El enlace Principio de exclusión de Pauli -> Función de distribución de Fermi-Dirac se describe aquí: https://nanohub.org/resources/5787/download/2009.02.02-ECE606-L9.pdf

Este es un tema muy profundo e interesante! Espero que esta respuesta ayude a aclarar algunas confusiones.

Para abordar su primera pregunta, los números cuánticos etiquetan los diferentes estados del sistema, por lo que si dos partículas tienen los mismos números cuánticos, están en el mismo estado.

Las estadísticas de Fermi-Dirac se refieren a la fase que adquiere la función de onda cuando se intercambian dos partículas. En particular, si intercambia dos fermiones, la función de onda debería adquirir un signo menos general. Supongamos que tenemos un sistema descrito por un solo número cuántico,$n$, y contiene dos fermiones con vectores de posición$\mathbf{x}_1$y$\mathbf{x}_2$respectivamente. Que estos fermiones estén en estados$n_1$y$n_2$. Entonces la función de onda para el sistema combinado debería ser:

$$\Psi (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \psi_{n_1}(\mathbf{x}_1)\psi_{n_2}(\mathbf{x}_2) - \psi_{n_1}(\mathbf{x}_2)\psi_{n_2}(\mathbf{x}_1)$$ donde los estados$\psi_{n_1}(\mathbf{x})$y$\psi_{n_2}(\mathbf{x})$son estados de una sola partícula. Puedes ver en el estado de dos partículas que$\Psi (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = -\Psi (\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1)$, que codifica el hecho de que el intercambio de los dos fermiones da como resultado un cambio general de signo. En contraste, los estados bosónicos de dos partículas obedecen$\Psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = \Psi(\mathbf{x}_2,\mathbf{x}_1)$.

El principio de exclusión de Pauli establece que dos fermiones indistinguibles no pueden ocupar el mismo estado cuántico. Podemos ver que esto se cumple considerando el caso de que$n_1=n_2$arriba. En esta situación,$\Psi = 0$idénticamente Eso significa que no hay probabilidad de que los fermiones estén en el mismo estado. Tenga en cuenta que este no es el caso de los bosones.

El teorema de la estadística de espín nos dice que la fase adquirida por la función de onda cuando se intercambian dos partículas es la misma que la fase adquirida cuando una partícula sufre un cambio completo.$2\pi$rotación. Entonces, los fermiones toman un signo menos cuando rotas uno de ellos por$2\pi$. Esto nos dice que deben tener un espín medio entero, ¡lo cual no es nada trivial! Sugeriría leer más sobre giro específicamente si está interesado en esta conexión.

Importante: Los hechos anteriores son ciertos para cualquier tipo de fermiones (indistinguibles). Los electrones y los quarks obedecen las mismas reglas en este sentido. Sin embargo, las estadísticas de Fermi-Dirac (que se refieren al signo menos recogido por la función de onda en el intercambio de partículas) no son lo mismo que la distribución de Fermi-Dirac. La distribución FD es obedecida por fermiones que no interactúan y que están en equilibrio térmico con un reservorio con el que pueden intercambiar partículas. En particular, los quarks son partículas que interactúan muy fuertemente y, por lo tanto, no obedecerían a la distribución FD. Las estadísticas de intercambio (y el principio de exclusión de Pauli) son un hecho más general y más profundo.