¿Cuál es la interpretación de la densidad de espín electromagnético de Chern-Simons?

El momento angular del campo electromagnético tiene la siguiente descomposición:

$\mathbf{J} = \frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )= \frac{1}{4\pi c}\int d^3x\left [ \mathbf{E}\times \mathbf{A} + \sum_{j=1}^3 E_j(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})A_j \right]$

Esta expresión aparece por ejemplo en Jackson: Classical electrodynamics (segunda edición) en el problema: 7.19. El segundo término puede interpretarse como el momento angular orbital por las siguientes razones: 1) Es un promedio ponderado del operador del momento angular:$(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{x})$, 2) Su densidad desaparece idénticamente para una onda plana.

La densidad del primer término, por otro lado, no depende de la posición en el espacio. Además, en el calibre temporal, donde los corchetes canónicos de Poisson son:

$\left \{ E_i(\mathbf{x}), A_j(\mathbf{y}) \right \} = -i \hbar \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})\delta_{ij}$

el primer termino$\frac{1}{4\pi c}\int d^3x \mathbf{x}\times(\mathbf{E}\times \mathbf{B} )$, satisface las relaciones de conmutación del momento angular (en el nivel del corchete de Poisson). Además, a nivel cuántico, este término tiene un valor propio de$+1$en fotones polarizados a la izquierda y$-1$en fotones polarizados a la derecha. Por lo tanto, puede interpretarse como el operador de helicidad.

La única dificultad en la descomposición anterior es que no es invariante de calibre (solo los componentes, porque el momento angular total es invariante de calibre). Esta es una propiedad general de los sistemas relativistas.

El momento angular total es la carga de Noether del grupo de rotación.$SO(3)$. Así, una covariante de la "densidad de espín", sería la carga de Noether del grupo de Lorentz.$SO(3, 1)$.

Ahora, el espín es un fenómeno cuántico en el contexto de que su cuantización no puede explicarse de forma clásica. Pero tiene semillas en la teoría clásica. Como es bien sabido, las partículas relativistas sin masa corresponden al pequeño grupo de Wigner.$E(2)$. Una descripción más precisa es a través de la teoría de órbitas coadjuntas, donde las partículas sin masa corresponden a la órbita:$(SO(3,1) \rtimes R(4))/(E(2) \times U(1)) = \mathbb{R}^3 \times (\mathbb{R}^3 - 0)$, consulte arxiv:0912.218 por: Carinena, Gracia-Bondia, Lizzi, Marmob y Vitale. La órbita coadjunta describe los grados de libertad físicos (después de la reducción de toda la libertad de calibre), en el caso de una partícula sin masa, 3 coordenadas de posición y 3 coordenadas de momento, excepto el momento cero que no está permitido para una partícula sin masa. La órbita coadjunta tiene una estructura simpléctica y describe completamente la dinámica clásica de una partícula libre sin masa. Solo hay ciertos valores de (el coeficiente de la) estructura simpléctica para los que se puede cuantificar la órbita coadjunta. Este coeficiente resulta ser la helicidad, y tras su cuantificación, la partícula adquiere una helicidad. Este es el proceso de precuantificación.en nuestro caso. Está en la frontera entre lo clásico y lo cuántico y algunas personas lo consideran parte de la teoría clásica. En realidad, trabajamos mucho en este marco, por ejemplo, en el cálculo de una función de partición clásica de un sistema de espín, usamos el hecho de que el espín está cuantificado pero nada más de la teoría cuántica, por lo que estamos trabajando dentro de la precuantificación.

El vector de espín axial del campo EM

En el contexto del álgebra de Pointcaré podemos considerar$C^\mu$como el vector de Pauli Lubanski del campo electromagnético.

$$\begin{equation} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&& \\ & \mbox{transl.} & \mbox{Lorentz} & \mbox{rotation} & \mbox{boost} & \mbox{Pauli Lubanski vect.} \\ \hline &&&&& \\ \mbox{Poincaré:} & P^\mu & J^{\mu\nu} & J^i & K^i & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ &&&&& \\ \hline &&&&& \\ \\ \mbox{e.m. field:} & A^\mu & F^{\mu\nu} & B^i & E^i & \,C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ &&&&& \\ \hline \end{array} \end{equation}$$

Se transforma como un vector axial en el indicador relativista de Lorentz, que es un requisito absoluto para que una expresión se considere el giro del campo EM.

$C^\mu$contiene la expresión más familiar$\epsilon_o\vec{E}\times\vec{A}$pero este término por sí solo no es un vector de 4 y no se transforma correctamente, ni siquiera en el calibre de Lorentz. Hay una correspondencia muy interesante de$C^\mu$con el vector axial del campo de fermiones:

$$\begin{equation} j_\circlearrowleft^\mu\ =\ \frac{iq_e}{2m}\ {\bar \psi}\gamma^\mu\gamma^5\psi \end{equation}$$

El cual podemos considerar el vector de Pauli Lubanski del campo de fermiones si sobre él realizamos la descomposición de Gordon. Obtenemos:

$$\begin{equation} \begin{array}{|c|c|} \hline & \\ & \mbox{Pauli Lubanski vector} \\ \hline & \\ \mbox{Poincaré:} & W^\mu=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,J_{\alpha\beta}\,P_\nu \\ \\ \\ \mbox{e.m. field:} & C^\mu\,=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,F_{\alpha\beta}\,A_\nu \\ \\ \\ \psi-\mbox{field:} & j_\circlearrowleft^\mu~=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\,M_{\alpha\beta}\,j_\nu \\ \\ \hline \end{array} \end{equation}$$

Dónde$M^{\mu\nu}$es el tensor de magnetización del campo de electrones definido por.

$$\begin{equation} M^{\mu\nu} ~=~ \left(\frac{\mu_e}{2mc}\right)~\mbox{ $\bar{\psi}\sigma^{\mu\nu}\psi$} ~=~ \left( \begin{array}{cccc} 0 & ~~P_x & ~~P_y & ~~P_z \\ -P_x & 0 & - M_z & ~~M_y \\ -P_y & ~~M_z & 0 & - M_x \\ -P_z & - M_y & ~~M_x & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$

y el$j_\nu$viene dado por las tasas de cambio de fase$\partial^\nu\phi$en el campo$\psi$.

En http://physics-quest.org/Book_Chapter_EM2_ChernSimonsSpin.pdf calculo$C^\mu$para algunos casos elementales y mostrar que tiene los valores que podemos esperar de ella.

Hans

Me quedé perplejo con esta misma pregunta hace un par de años cuando leí el artículo de De Vries en línea. Solo estoy adivinando, pero creo que básicamente equivale a (para un solo electrón, por ejemplo):

1. convertir el espinor en un campo vectorial equivalente combinándolo con la densidad de carga; y,

2. considerando el campo vectorial resultante como el rotacional de una densidad de corriente.

En otras palabras, al combinar los dos componentes del espín de la función de onda, obtienes una densidad de espín en cada punto del espacio que en realidad tiene la cualidad de ser un campo vectorial porque además de la dirección (que es todo lo que obtienes con un espín). ) tiene una magnitud que proviene de la densidad de carga local. Si toma el anti-rizo de ese campo vectorial, obtiene una densidad de corriente.

Esa densidad de corriente resultante es lo que De Vries llama Chern-Simon. Creo.