Recién comencé a estudiar combinatoria superior, pero hasta ahora en el sentido combinatorio solo había visto el teorema binomial y los coeficientes. Por lo tanto, tengo mucha dificultad para agarrar los materiales. Recientemente estudié los números de Stirling de primer y segundo tipo, aunque me concentré principalmente en el segundo tipo, y aprendí que algo así como dividamos elementos en exactamente -particiones. Por ejemplo, si , y , entonces podemos particionar el conjunto de elementos en dos particiones, ya sea haciendo que una partición contenga elemento y el otro o hacer que ambas particiones contengan elementos, donde también vi que .
De todos modos, ahora entré en el campo de las funciones generadoras, y no entiendo exactamente qué son, por qué las necesitamos y, en particular, ¿cuál es su relación con los números de Stirling que estudié últimamente? Sé que esto parece una pregunta amplia, pero me gustaría escuchar algo sobre esta conexión. Ya he estado leyendo el libro y revisando Wikipedia, pero todavía no me queda claro.
Las funciones generadoras son funciones para las cuales los coeficientes de las expansiones de la serie de Taylor coinciden con algún problema de combinatoria discreta. Son útiles en el campo de la combinatoria analítica, donde se usa un análisis complejo para generar aproximaciones asintóticas para valores grandes... por ejemplo, puede ser difícil calcular un problema de combinatoria cuando comenzamos a contar miles o decenas de miles de objetos, pero con la función generadora y un análisis complejo, podemos obtener una estimación muy buena y cercana de la respuesta.
Además, con las manipulaciones simbólicas correctas, podemos ENCONTRAR las funciones generadoras de nuevos problemas de conteo, un buen libro sobre esto es Analytic Combinatorics, de Flajolet y Sedgewick.
Enrique