Una pregunta en Relatividad Especial

Su pregunta parece ser: si el observador en la Tierra ve que la nave espacial se mueve a una velocidad v, ¿cómo sabemos que el observador en la nave espacial verá que la Tierra se mueve a una velocidad -v?

Esto se conoce como el problema del "principio de reciprocidad" y es bueno, en el sentido de que plantea la siguiente cuestión: "¿Se sigue el principio de reciprocidad de los postulados básicos de la relatividad especial o es extraño, algo asumido pero no explicado?" porque en los postulados?"

El problema se ha debatido durante mucho tiempo y una respuesta generalmente aceptada es que "la reciprocidad se deriva del principio de relatividad y de los supuestos fundamentales sobre la isotropía y la homogeneidad del espacio". Por más intuitivo o creíble que suene, una prueba detallada de esta conclusión no es tan simple. Para ver por qué, consulte el siguiente documento sobre este tema exacto:

V. Berzi, V. Gorini, "Principio de reciprocidad y transformaciones de Lorentz", J.Math.Phys. 10 , 1518-24 (1969) (pdf, no en el sitio JMP)

Es solo uno de muchos, pero le dará una buena idea de lo que implica.

Una respuesta abreviada a su pregunta, y probablemente no muy satisfactoria, sería: dado que las unidades de longitud y tiempo son las mismas para los dos observadores, y que el espacio tiene las mismas propiedades en cada punto a lo largo de cada dirección (homogéneo e isotrópico) , el principio de relatividad nos dice que si el observador A ve al observador B moviéndose con velocidad v, entonces el observador B debe ver a A experimentando el mismo tipo de movimiento en la dirección opuesta. Por tanto, B debe ver a A moviéndose a velocidad -v.

Además de la respuesta de udrv , y los tecnicismos que plantea a un lado, hay dos formas de argumentar la relación de reciprocidad que el impulso del observador$A$a$B$es el impulso de$B$a$A$pero con$v\mapsto-v$.

Por los argumentos detallados en el epílogo, encontramos que las transformaciones entre marcos inerciales forman un grupo y ese grupo actúa linealmente en coordenadas afines (más o menos, que las transformaciones de Lorentz deben ser un grupo matricial que actúa en vectores de columna de coordenadas cartesianas / de espacio-tiempo de Minkowski -ordenadas). Esto se deriva del principio de relatividad de Galileo, la continuidad de la transformación y la homogeneidad de los supuestos del espacio-tiempo.

Así que ahora asumimos la isotropía del espacio y consideramos el subgrupo de impulsos en una dirección. Por isotropía espacial, fije el$x$eje para ser esta dirección. Entonces se deduce que nuestro grupo de impulsos colineales es de la forma:

$$\mathfrak{L}=\{\exp(\eta\,K)|\,\eta\in\mathbb{R}\}\tag{1}$$

por alguna constante$2\times 2$matriz que caracteriza la naturaleza básica del fenómeno boost, donde los miembros de$\mathfrak{L}$guiarse por$2\times 1$vectores columna de la forma$\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)$.

Ahora hay dos suposiciones diferentes que lo llevarán de (1) a la relación de reciprocidad:

---

Argumento 1

Invocamos de nuevo la isotropía espacial y consideramos lo que sucede cuando hacemos la transformación de coordenadas$x\mapsto-x$. La isotropía espacial exige que la matriz$K$en (1) debe ser el mismo; sólo el parámetro de rapidez puede$\eta$puede cambiar; decir que es$\eta^\prime=h(\eta)$en las coordenadas transformadas, donde$h()$es una función cuyo carácter debemos encontrar. Al hacer la transformación de coordenadas$x\mapsto-x$encontramos:

$$\begin{array}{cl}&\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&\kappa_{t\,x}\\\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)\\=&\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&-\kappa_{t\,x}\\-\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right)\\ =& \exp\left(h(\eta)\left(\begin{array}{cc}\kappa_{t\,t}&\kappa_{t\,x}\\\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}\end{array}\right)\right);\;\forall\,\eta\in\mathbb{R}\end{array}\tag{2}$$

De esta ecuación deducimos que$\kappa_{x\,x}=\kappa_{t\,t}=0$y eso$\eta^\prime = h(\eta) = -\eta$(la otra posibilidad$\eta^\prime=\eta$da una diagonal$K$matriz, que no describe el movimiento relativo). Esto deja lo siguiente como la forma básica de la transformación:

$$T(\eta) = \left(\begin{array}{cc}\cosh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)&\sqrt{\frac{\kappa_{t x}}{\kappa_{x t}}}\sinh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\\\sqrt{\frac{\kappa_{x t}}{\kappa_{t x}}}\sinh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)&\cosh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\end{array}\right)\tag{3}$$

Un poco más de álgebra "calibrando" la forma en (3) en términos de la distancia con signo sobre la velocidad del tiempo$v$muestra que:

$$v = \sqrt{\frac{\kappa_{x t}}{\kappa_{t x}}} \tanh\left(\eta\sqrt{\kappa_{t x}\,\kappa_{x t}}\right)\tag{4}$$

Ahora para derivar la transformación de$B$a$A$en términos de eso de$B$a$A$, claramente encuentras la transformación inversa, y de (1) esto significa encontrar la transformación con un cambio de signo en la rapidez ($\eta\mapsto-\eta$). Pero, de (4), esto es lo mismo que cambiar el signo de$v$.

---

Argumento 2

También puede derivar la forma (3) y (4) y, por lo tanto, la relación de reciprocidad comenzando con (1) y suponiendo que la transformación inversa es la misma que la transformación que obtenemos cuando hacemos la transformación de coordenadas$t\mapsto-t$. Esto es lo mismo que decir que "ejecutar el tiempo hacia atrás" corresponde a "ejecutar una película de movimiento relativo hacia atrás". Luego escribe casi exactamente la misma ecuación que en (2), pero ahora sabe desde el principio ( es decir, por suposición) que$h(\eta) = -\eta$. La forma de (4) y la relación de reciprocidad siguen entonces como antes.

Si lo piensa, esto es exactamente lo mismo que argumentar una "isotropía del tiempo": que la dirección del tiempo no debería afectar la forma de la matriz de impulso. Por lo tanto, desde este punto de vista, es casi el mismo argumento que el argumento 1.

---

Referencia

Otro buen artículo, además del citado en la respuesta de udrv , sobre este tema es:

Jean-Marc Lévy-Leblond, "Una derivación más de la transformación de Lorentz", Am. J. Ph. 44

---

Epílogo: ¿Por qué un grupo Matrix actúa linealmente?

1. El Principio de Galileo muestra que las transformaciones entre marcos inerciales forman un grupo . A partir del principio de relatividad de Galileo, se puede argumentar que el conjunto de transformaciones$\mathscr{T}$entre marcos inerciales junto con composición de transformación$\circ$juntos forman un grupo$(\mathscr{T},\,\circ)$. Esto se debe a que la transformación entre dos marcos inerciales solo puede depender del movimiento relativo entre esos dos marcos y no de su movimiento putativo referido a cualquier otra cosa (esto está en línea con la Alegoría del Barco de Salviati ) . Por lo tanto, la composición de varios impulsos solo puede depender del punto inicial y final, no puede depender en particular de cómo se agrupan los impulsos, por lo que la composición de transformación debe ser asociativa. Si asume además que la composición de transformación no puede destruir información, que una descripción del marco$B$se puede calcular a partir del marco$A$y por el contrario, entonces las transformaciones entre marcos inerciales son invertibles. Por lo tanto,$(\mathscr{T},\,\circ)$es un grupo;

2. La homogeneidad del espacio-tiempo muestra que el grupo actúa linealmente en coordenadas de espacio-tiempo afines. La homogeneidad del espacio-tiempo junto con suposiciones adecuadas de planitud muestra que cuando especializas tus coordenadas en coordenadas afines (esencialmente cartesianas sin la noción de ángulo u ortogonal), entonces la acción de nuestro grupo$(\mathscr{T},\,\circ)$debe ser una acción lineal: sea$Y=f(T\,X)$significa: "el vector de coordenadas del espacio-tiempo afín$Y$es la imagen del vector de coordenadas de espacio-tiempo afín$X$bajo la acción$f$de transformación$T\in\mathscr{T}$en coordenadas afines". La homogeneidad dice que nuestras transformaciones no pueden cambiar de forma cuando trasladamos nuestras coordenadas en el espacio o en el tiempo: "A la naturaleza no le importa dónde ponemos nuestro origen". Entonces, para cualquier transformación$T\in\mathscr{T}$, cualquier vector de coordenadas espaciotemporales$X$y cualquier desplazamiento$Z$en el espacio y el tiempo, debemos tener$f(T,\,X+Z)-f(T,\,Z) = f(T,\,X)-f(T,\,0)$: el vector que une las imágenes del origen$0$y$X$no cambia si ambos extremos se trasladan por el desplazamiento$Z$. Si ahora defines$h_T(U) = f(T,\,U)-f(T,\,0)$, puedes mostrar rápidamente que$h_T(X+Y)=h_T(X)+h_T(Y)$para cualquier coordenada de espacio-tiempo afín$X,\,Y$. Esta es la famosa ecuación funcional de Cauchy en$\mathbb{R}^{3+1}$y puedes demostrar que la única solución continua es$h_T(X) = A_T\,X$, para algunos$4\times4$matriz$A_T$que caracteriza la transformación de coordenadas.

Creo que la respuesta de udrv da en el clavo, pero ampliaré un poco la forma intuitiva de verlo.

En su ejemplo, tiene un barco que sale de la tierra y vuela hacia Neptuno a una velocidad relativista. Si bien podría pensar que la nave se está moviendo rápido y que la Tierra está esencialmente quieta (aunque en realidad, la Tierra se está moviendo alrededor del sol y alrededor de la Vía Láctea y la Vía Láctea en sí misma se está moviendo, y la relatividad especial no manejó el cambio de velocidad en absoluto, pero podemos ignorar eso por ahora). Aquí está la cosa. Un objeto en movimiento y otro que se queda quieto no es como deberías ver las cosas en la relatividad especial. Hacia la Tierra, la nave se aleja digamos a la mitad de la velocidad de la luz y, por definición, hacia la nave, la Tierra se aleja a la mitad de la velocidad de la luz. En un sistema de 2 cuerpos (Tierra y Nave), ninguno puede ver al otro alejarse más rápido de lo que el otro lo ve alejarse, porque, en términos más simples, en un sistema de 2 cuerpos, cualquiera de los dos podría estar moviéndose. Están en situaciones reflejadas entre sí.

Lo que cambia es la percepción de Neptuno porque la Tierra ve a Neptuno todavía en relación con la Tierra (ignorando la velocidad orbital, por supuesto), pero la nave ve tanto a la Tierra como a Neptuno en movimiento, por lo que su percepción de Neptuno es diferente.

Hay dos escenarios, uno, la Tierra y Neptuno se están moviendo desde la referencia de la nave espacial, la Tierra alejándose de la nave, Neptuno hacia ella o, escenario dos, la Tierra y Neptuno no se están moviendo y solo la nave se está moviendo. Ambos escenarios funcionan.

Si la nave se está moviendo, el espacio antes de que se aplaste por lo que se reduce la distancia entre la Tierra y Neptuno. Si la Tierra y Neptuno se mueven a la misma velocidad, la distancia observada a Neptuno desde la Tierra es la que normalmente esperaría.

Si piensa en desacelerar el reloj, es natural pensar que la velocidad parecería más alta, pero la desaceleración del reloj se corresponde con el aplastamiento de la distancia, no con el aumento de la velocidad aparente.

Ahora, si nos fijamos en el problema de "cuál es el marco de tiempo correcto", bueno, ambos lo son, aunque perciben las cosas de manera diferente. Esta imagen explica lo que está pasando.

(Fuente)

El hecho de que tanto la Tierra como la Nave vean que el reloj del otro se mueve lentamente es un poco paradójico, eso se explica en el enlace.

La respuesta realmente corta a su pregunta es que los libros de texto suelen tener razón. Muy ocasionalmente encontrará uno con un error, como si se hubiera impreso en Texas sobre el tema de ideas alternativas a la evolución ;-) pero, en general, los libros de texto son correctos.

Aunque es una buena pregunta.