¿Existen paradojas debido a la suma de velocidades?

¿Existen paradojas debido a la suma de velocidades?

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En el diagrama anterior, tenemos una estación espacial muy larga de 259.627,885 km.

El cohete "A" está estacionado en el extremo izquierdo de la estación espacial. Supongamos que el Cohete "B" ha acelerado casi instantáneamente a 259.627,885 km/s, cuando partió del extremo derecho de la estación espacial. Desde el punto de vista de las estaciones espaciales, se ve que el Cohete "B" tarda 1 segundo en llegar al extremo opuesto de la estación espacial. (259.627,885 km / 259.627,885 km/s = 1 segundo)

Sin embargo, debido a la Dilatación del Tiempo y la Contracción de la Longitud, aquellos a bordo del Cohete "B" experimentan solo 0.5 de segundo, y ven la longitud de la estación espacial como solo 129,813.924 km. Por lo tanto, ven su velocidad relativa a la estación espacial como 129.813,924 km/0,05 s = 259.627,885 km/s, lo que significa que también ven la misma velocidad relativa que los que están a bordo de la estación espacial.

La situación es la misma para Rocket "C", con la excepción de la dirección opuesta de viaje.

En el caso de los Cohetes "E" y "F", ven que su velocidad relativa es de 259.627,885 km/s. Esto se debe a que cada uno viaja a 173.085,256 km/s en relación con la estación espacial, pero en direcciones opuestas. Por lo tanto, si suma 173 085,256 km/s + 173 085,256 km/s mediante la ecuación de adición de velocidad, el resultado final es 259 627,885 km/s, tal como se ilustra en el diagrama.

Además, si se tiene en cuenta la Dilatación del Tiempo y la Contracción de la Longitud, los que van a bordo del Cohete "E" observarán que su velocidad, relativa a la estación espacial, es de 173.085,256 km/s.

Ahora, ... teniendo todo esto en cuenta, aquellos en el Cohete "E" asumirán que la velocidad del Cohete "F" relativa a la estación espacial es la velocidad relativa total entre los dos cohetes, menos su velocidad específica relativa a la estación espacial Es decir, 259.627,885 km/s - 173.085,256 km/s = 86.562,628 km/s. (Esto resulta ser 173.085,256 km/s dividido por 2)

Sin embargo, esto produce una paradoja. Después de todo, ambos cohetes llegarán al centro de la estación espacial al mismo tiempo (si salen de los extremos al mismo tiempo), por lo que ambas velocidades deben ser iguales.

¿Se puede resolver esta paradoja?

(No sé por qué la imagen es borrosa? El original es nítido).

La fórmula de suma de velocidad aún se aplica cuando realiza una resta. w = tu + v 1 + tu v C 2 . Funciona igual de bien cuando uno o ambos tu y v son negativos
Es solo una paradoja si asumes que se fueron al mismo tiempo.
Sí, quise decir que se fueron al mismo tiempo.

Respuestas (1)

Como ocurre con la mayoría de las paradojas aparentes de la relatividad, el problema es que no se tiene en cuenta la relatividad de la simultaneidad : si los cohetes partieron al "mismo tiempo" en el marco de la estación, no lo hicieron al mismo tiempo en el marco donde el cohete E estaba en reposo durante su viaje a través de la estación.

Digamos que colocamos el origen espacial (x=0 km) del sistema de coordenadas de la estación en el borde izquierdo de donde parte el cohete E, y decimos que el cohete partió en t=0 segundos. Entonces, si el cohete F parte del borde derecho simultáneamente en este marco, al evento de salida del cohete F se le podrían asignar las coordenadas x = 259,627.885 km, t = 0 segundos. Ahora, si queremos ver un cuadro diferente donde el cohete E está en reposo después de acelerar, podemos suponer que el origen del espacio-tiempo de este cuadro también se encuentra en el caso de que el cohete E salga del borde izquierdo, por lo que en este segundo cuadro que podemos denotemos con coordenadas primas, que el evento tiene coordenadas x'=0 km, t'=0 s. Suponiendo que el eje x del marco de la estación y el eje x' del marco imprimado están alineados y que el cohete tiene una velocidad v a lo largo del eje x del marco de la estación,forma más simple de la transformación de Lorentz para mapear entre estos dos marcos:

X ′ = γ ( X − v t )

t ′ = γ ( t − ( v X / C 2 ) )

Con γ = 1 / 1 − v 2 / C 2 , en este caso 1.22474487. Así si el evento de salida del cohete F por el lado derecho tiene las coordenadas x=259,627.885 km, t=0 s en el marco de la estación, en el marco primo este mismo evento tendrá las siguientes coordenadas:

x' = 1,22474487 * (259627,885 km - (173 085,256 km/s * 0 s)) = 317977,920 km

t' = 1,22474487 * (0 s - (173.085,256 km/s * 259.627,885 km)/(299792,458 km/s)^2) = -0,612372435 s

Entonces, en el marco preparado donde el cohete E está en reposo después de acelerar, en t'=-0.612372435 s, el cohete F acelera alejándose del extremo derecho de la estación en la posición x'=317,977.920 km y comienza a moverse hacia el origen espacial, x' =0 (donde E se detendrá en este marco después de acelerar en t'=0), a una velocidad de 259.627,885 km/s. El tiempo necesario para que el cohete F cubra esta distancia de acuerdo con este marco será de 317 977,920 km / 259 627,885 km/s = 1,22474487 s, por lo que el cohete F alcanzará x'=0 donde el cohete E se encuentra en t' = -0,612372435 s + 1,22474487 s = 0,612372435 s. Mientras tanto, en t'=0 s en este marco, el extremo izquierdo de la estación pasa el origen y continúa moviéndose en la dirección -x' a -173,085.256 km/s, por lo que en t'= 0.612372435 s el extremo izquierdo estará en -173.085,256 km/s * 0,612372435 s = -105.992. 64 kilometros Y si la estación tiene 259.627,885 km de largo en su propio marco de reposo, en el marco imprimado debe tener 259.627,885 km / 1,22474487 = 211.985,28 km de largo debido acontracción de longitud , por lo que la distancia entre su extremo izquierdo y su punto medio es la mitad de esto, o 105.992,64 km. Entonces, si el extremo izquierdo de la estación está en x'=-105,992.64 km en este marco cuando el cohete E se encuentra con el cohete F, eso significa que el marco preparado predice que el cohete E se encuentra con el cohete F en el punto medio exacto de la estación, exactamente como fue predicho en el marco de la estación.

Reemplace la estación espacial con un camión largo que esté en reposo en tierra. Los miembros del camión y los que están en tierra ven que todos los relojes están sincronizados. En el interior, los cohetes "E" y "F" se lanzan a las 12:00 del mediodía y alcanzan el centro al mismo tiempo. "E" y "F" miden cada uno su velocidad relativa al camión como 173.085,256 km/s, y su velocidad relativa entre sí como 259.627,885 km. Acelere el camión a alta velocidad y luego repita el lanzamiento. En el interior, nada parece diferente. Solo los observadores en tierra notarán que los relojes en los extremos del camión ya no están sincronizados, etc. Por lo tanto, la paradoja dentro del camión permanece.
@Sean - ¿Por qué es una "paradoja"? Naturalmente, diferentes marcos tienen una definición diferente de si dos relojes están 'sincronizados', pero la vista del marco del camión es tan válida como la vista del marco del suelo, en relatividad no existe una verdad objetiva independiente del marco sobre la simultaneidad de eventos en diferencia ubicaciones. Solo habría una paradoja si diferentes marcos hicieran predicciones diferentes sobre hechos independientes del marco, como en qué parte de la estación/camión estarán los cohetes al lado cuando se encuentren, pero ambos marcos coinciden en que se encuentran en el punto medio, y también lo estaría el marco de tierra en su ejemplo.
Los cohetes "E" y "F" miden cada uno su velocidad relativa al camión como 173.085,256 km/s, y su velocidad relativa entre sí como 259.627,885 km. Incluso si el camión acelera a gran velocidad, lo que sucede dentro del camión parece ser exactamente lo mismo si se repite el lanzamiento. Las leyes de la física siguen siendo las mismas. Por lo tanto, en ambos casos, Rocket "E" aún deduce que la velocidad de Rocket "F" en relación con el camión es de 86.562,628 km/s (86.562,628 km/s = 259.627,885 km/s - 173.085,256 km/s) aunque los del Rocket "F Es posible que les haya informado lo contrario cuando pasaron uno junto al otro.
@Sean: está utilizando la frase "velocidad de F en relación con el camión" de manera equívoca. 86.562,628 km/s es la "velocidad de acercamiento" entre F y el camión en el marco de E, es decir, la velocidad a la que cambia la distancia entre F y el extremo del camión medida por reglas y relojes en reposo en el marco de E. En relatividad, esto es distinto de la velocidad del camión en el marco de F, medida por reglas y relojes en reposo en el marco de F. No hay paradoja en esto, ya que se trata de mediciones de diferentes cosas utilizando diferentes instrumentos.
Dile eso a los que están a bordo de los cohetes "E" y "F". Si, al pasar uno al lado del otro, ambos eligen pasarse información sobre la velocidad deducida del otro, es decir, la velocidad del otro en relación con el camión o la estación espacial, en cada caso esta información no concordará con su propia velocidad directa. evaluación. Claro, pueden cerrar los ojos y simplemente decir que lo hicieron diferentes marcos de referencia, pero eso no resuelve el rompecabezas que fue presenciado en tiempo real. Elimine cualquier conocimiento de SR, y tienen un pequeño rompecabezas en sus manos.
Pero saben que cada uno usó reglas y relojes diferentes para hacer sus mediciones, y cada uno ve las reglas del otro con una longitud contraída y los relojes del otro retrasados ​​y desincronizados, ¿por qué debería ser una sorpresa que obtengan valores diferentes? ¿Por qué es esto más paradójico que el hecho de que, en la física newtoniana, la "velocidad" del cohete tendría diferentes valores dependiendo de si se mide usando reglas y relojes en reposo en el camión o reglas y relojes en reposo en el suelo?
Sí, si SR entra en escena, y por lo tanto "SABEN" mirar cosas como relojes que se ralentizan y reglas que tienen diferentes longitudes, etc. De lo contrario, no tendrían respuesta al rompecabezas.
Incluso si no saben SR de antemano, si uno de ellos usa sus propias reglas y relojes para medir las reglas y los relojes del otro, encontrarán que las reglas del otro se acortan y los relojes del otro se atrasan y son fuera de sincronización. Pero claro, si no conocen la RS y no piensan en realizar este tipo de prueba, encontrarán el resultado desconcertante... Sin embargo, no creo que esto llegue al estado de una "paradoja" genuina, hay todo tipo de resultados en física que pueden parecer desconcertantes si no comprendes otros factores que pueden explicarlo lógicamente.
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