Una aparente contradicción con m=m0/1−v2/c2−−−−−−−−−√m=m0/1−v2/c2m = m_0/\sqrt{1-v^2/c^2} [duplicado]

Usando el marco teórico de la relatividad especial, podemos mostrar que la cantidad que clásicamente consideramos energía tiene una propiedad de inercia. Y particularmente, si la energía total de una caja es L entonces su inercia es L / C 2 . Ahora supongamos que tengo un capacitor de placas paralelas infinitamente grande que está en reposo en un marco inercial O . Las placas uniformemente cargadas de los capacitores tienen una densidad de carga tal que el campo eléctrico uniforme entre las placas es mi .

Ahora en un marco de referencia O ′ que se mueve uniformemente a lo largo del vector de área del plano de la placa con respecto a O , el campo eléctrico será mi y el campo magnético seguiría siendo cero.

En O marco, la energía total del capacitor es L 1 = yo 0 ∫ 1 2 ϵ 0 mi 2 d A y por lo tanto su masa es metro 1 = L 1 / C 2 .Dónde yo 0 es la separación perpendicular entre las placas y d A es el elemento infinitesimal de área pequeña de una de las placas en O marco.

En O ′ marco, la energía total del capacitor es L 2 = yo 0 1 − v 2 / C 2 ∫ 1 2 ϵ 0 mi 2 d A . el infinitesimal d A y los límites de integración permanecen exactamente iguales porque no ocurre ninguna contracción de longitud en la dirección perpendicular al movimiento relativo. Aquí también la masa es así metro 2 = L 2 / C 2 .

Entonces, metro 2 = metro 1 1 − v 2 / C 2 . Pero en general, en relatividad probamos que metro = metro 0 / 1 − v 2 / C 2 . Entonces, ¿por qué está sucediendo esta aparente contradicción? ¿Tiene algo que ver con el hecho de que en realidad tanto el metro 1 y metro 2 son infinitos? Porque dudo que pueda darse el caso de que no podamos escribir directamente metro 2 = metro 1 1 − v 2 / C 2 porque metro 2 y metro 1 son infinitos. Pero, por otro lado, esa relación parece mantenerse bastante bien a partir de sus correspondientes expresiones en la forma integral.

Tratando metro [ 1 − β 2 ] − 1 / 2 ya que la inercia tiene problemas desde el principio. Es la inercia correcta para fuerzas que actúan transversalmente a la dirección del movimiento relativo, pero no es correcta para fuerzas longitudinales.
@dmckee Pero al probar el metro = metro 0 / 1 − v 2 / C 2 relación, analizamos una colisión que tiene fuerzas longitudinales. ¿Puede sugerir la razón por la cual la expresión no debería cumplirse en algunos casos?
@dmckee ¿Puede proporcionar algún enlace donde pueda leer la literatura relevante sobre los problemas con metro 0 / 1 − v 2 / C 2 ¿expresión?
la masa es independiente de la velocidad. metro = γ metro 0 es un error histórico, y no debe tomarse en serio en ningún contexto.
@qftishard Sé que en la literatura reciente consideramos que la masa en reposo es la masa. Y la masa en reposo es obviamente independiente de la velocidad. ¿Pero estás sugiriendo que la inercia de un cuerpo no cambia con la velocidad? Entonces creo que crea muchos problemas con la conservación del impulso en el contexto relativista. ¿Puede proporcionar algún enlace web para leer sobre lo que está sugiriendo?
Le recomiendo que: 1: Acepte esos resultados. 2: Comprenda esos resultados considerando la energía necesaria para acelerar un capacitor de placa cuando A: la longitud de la distancia de la placa se contrae B: la distancia de la placa no cambia.

Respuestas (1)

Usando el marco teórico de la relatividad especial, podemos mostrar que la cantidad que clásicamente consideramos energía tiene una propiedad de inercia.

No es tan sencillo como tener un escalar metro como en F → = metro a → . Y si tienes un impulso mecánico como pag → = v → mi / C 2 entonces la masa no aparece en absoluto y d pag → / d t tiene que ajustar definitivamente la energía y tal vez la velocidad o la velocidad también. Pero dado que la energía depende del movimiento 3D completo, no obtiene la separación simple de los cambios en los componentes de velocidad para cada uno de los tres componentes como lo hace en la mecánica newtoniana. Pero puedes obtener un buen cambio en el impulso.

Ningún juego de palabras puede cambiar ese impulso que puede aumentar constantemente mientras que la energía y/o la velocidad pueden ser un cambio más complicado.

Y particularmente, si la energía total de una caja es L entonces su inercia es L / C 2 .

Esa es una afirmación bastante grande. Si no fuera tan vago, diría que es probablemente incorrecto.

En O marco, la energía total del capacitor es L 1 = yo 0 ∫ 1 2 ϵ 0 mi 2 d A y por lo tanto su masa es metro 1 = L 1 / C 2 .

Eso no es cierto. Un condensador tiene placas y cargas masivas y algo de estrés que mantiene juntas todas las cargas, por lo que hay más energía que los campos, y hay estrés, por lo que hay más que solo energía.

En O ′ marco, la energía total del capacitor es L 2 = yo 0 1 − v 2 / C 2 ∫ 1 2 ϵ 0 mi 2 d A .

Ahora también hay energía cinética de las cargas masivas, y también está involucrada la tensión.

Aquí también la masa es así metro 2 = L 2 / C 2 .

No. La masa no es solo energía dividida por C 2 necesita la energía total (no solo parte de ella) y necesita el impulso (y en este marco hay impulso para las cargas).

Pero en general, en relatividad probamos que metro = metro 0 / 1 − v 2 / C 2 .

Eso tampoco es cierto. Claro, si el vector de momento de energía total existe y es similar al tiempo, entonces hay un marco de centro de momento y en ese marco hay una energía y si lo divides por C 2 puedes llamar a eso la masa en reposo del sistema. Y luego puedes comparar la energía total en otros marcos con esa energía y será mayor en los otros marcos.

Pero la integral espacial de la energía de campo no es la energía total y no es el componente de tiempo del momento de energía total de un sistema. Y una buena manera de saberlo físicamente es...

No hay marco de reposo o marco de centro de momento para un campo eléctrico desnudo sin cargas.

Claramente, la energía del campo no es un componente de púas de un vector temporal. Lo cual se puede decir por el hecho de que no hay un marco fijo donde sea más pequeño que cualquier otro marco.

Entonces, ¿por qué está sucediendo esta aparente contradicción?

No hay contradicción. La energía de un campo eléctrico desnudo simplemente no se transforma de la forma en que afirmas que lo hace. Nadie dijo que lo hiciera.

¿Esperabas que el campo de energía tuviera una masa por sí mismo?

Ignoró por completo cualquier fuerza que impida que esas placas cargadas choquen entre sí (la ignoró en ambos marcos), y esa fuerza también tiene algo de energía.

¿Tiene algo que ver con el hecho de que en realidad tanto el metro 1 y metro 2 son infinitos?

No. Se podría hablar de condensadores de tamaño finito. O incluso hacer un cálculo en un universo finito, como un universo que es infinito en la dirección z pero si vas en las direcciones x o y repite el estilo de Pac Man.

La clave es evitar la mala física. Y al igual que dos marcos pueden estar en desacuerdo sobre qué objetos tienen energía cinética, debe incluir absolutamente toda la energía, la tensión de las placas y los cables, la energía de los campos, la energía cinética y la energía en reposo de las partes de las placas, todo.

La relatividad especial sugiere que la masa indica el contenido de energía del cuerpo. La masa 'útil' es la masa en reposo que, por definición, es invariable. Pero todavía existe una cantidad llamada masa relativista que no es un escalar de Lorentz. Además, si la masa relativista de un cuerpo es metro entonces esencialmente significa que la energía total del cuerpo es metro C 2 . La energía total de un cuerpo se transforma como mi = mi 0 / 1 − v 2 / C 2 y también lo hace la masa relativista.
@Dvij Sea intelectualmente honesto. No pretenda que usar dos palabras (energía y masa relativista) para la misma cosa es un logro o algún tipo de idea. Llámalo energía y sigue con tu vida. La relatividad especial no "indicó" que deberías inventar dos palabras para la misma cosa y llamarlo un logro. Tú dices que hay una cosa llamada masa relativista y yo digo que hay una cosa llamada energía. Pero el punto es que no puedes simplemente tomar ecuaciones y reemplazar masa con energía y esperar que ahora sea correcto, eso está mal. La conservación de la cantidad de movimiento funciona si usas las ecuaciones correctas.
@Dvij Solo un pequeño consejo: si considera un sistema de dos objetos y aumenta la masa en reposo de ese sistema acelerando los dos objetos en direcciones opuestas, entonces está utilizando efectivamente la masa relativista, ¡pero nadie puede quejarse! ;)
@ user7027 En la pregunta específica que hizo el OP, podemos quejarnos y lo hacemos. Ignorar parte del estrés, el impulso o la energía da respuestas incorrectas. Así como dos objetos con velocidad relativa pueden tener diferentes partes que tienen energía cinética dependiendo del marco, las diferentes energías de diferentes partes pueden ser importantes para la energía total de un sistema. El OP definitivamente está cometiendo errores y los juegos semánticos no lo solucionarán, el OP necesita realmente aprender relatividad y rastrear toda la energía, el estrés y el impulso en lugar de elegir y elegir.
No estoy diciendo que la energía total de todo el "condensador + conjunto que sostiene las placas del condensador" sea la integración de 1 2 ϵ 0 mi 2 . Pero estoy eligiendo particularmente el sistema que consiste solo en los campos entre las placas.
@Dvij La energía del campo por sí sola no se conserva en el tiempo ni es invariable en el marco, y tampoco se transforma entre marcos de acuerdo con su ecuación. La energía total no es marco invariante pero se conserva y se transforma correctamente. Ahora estoy empezando a pensar que ni siquiera tienes una pregunta y simplemente te gusta usar ecuaciones aleatorias por razones aleatorias. ¿Qué contradicción? Tus suposiciones infundadas de que puedes considerar algo de energía e ignorar todo el impulso y todo el estrés y esperar que tenga algún significado. DE ACUERDO. Mostraste que la suposición sin fundamento es incorrecta. Excelente. ¿Cómo es esto un problema?
El sistema que comprende el espacio entre las placas tiene una energía total (NO la energía total de todo el "condensador + conjunto que sostiene las placas del condensador") igual a la energía del campo, porque no hay nada más. Y entonces, ¿por qué la energía de este sistema no debería transformarse de la forma en que la energía en general se transforma entre los marcos?
@Dvij En primer lugar, no lo hace. En segundo lugar, no hay ninguna razón por la que debería hacerlo. Los campos se transforman como parte de un sistema más grande que también tiene cargas, tensiones y cantidad de movimiento, así como también energía de campo. Si usar la palabra masa te hizo pensar que puedes tomar cualquier parte de una energía total y luego ignorar otra energía e ignorar el estrés e ignorar el impulso y que esto no te molestaría. Entonces usar esa palabra te ha engañado. En la relatividad hay un tensor de energía de estrés, es real, e incluye toda la energía, todo el impulso y todo el estrés y lo hace de manera que se transforma correctamente.
No entiendo qué parte de la energía total he ignorado si mi sistema es solo el espacio entre las placas.
@Dvij No puedes inventar nada que te apetezca y llamarlo sistema y esperar que se transforme correctamente. Nunca nadie te dijo que podías. Y no puedes. Además, aún necesitaría el estrés y el impulso incluso si lo necesitara porque este es un sistema extendido y esas son las otras partes relativistas de la densidad de energía .
@Dvij Edité la respuesta para tratar de ser más clara.
@Timaeus Un positrón y un electrón están separados por 10000 km. Un impulso adecuado hace que esas partículas se acerquen arbitrariamente entre sí, lo que hace que la energía del par sea arbitrariamente baja, donde el significado de energía es tal que la energía se vuelve baja. No sé si estamos de acuerdo en que la energía se está agotando, pero como acabo de deshacerme de todas las cosas innecesarias, podríamos comenzar a responder la pregunta de si la energía se está agotando o no.
@ user7027 Si usa la relatividad especial estándar, el electromagnetismo clásico estándar y las cargas puntuales, entonces la energía del campo es infinita en cualquier marco. Si reemplaza las cargas puntuales con distribuciones de carga continuas, entonces la energía del campo no se transforma como componente de un cuatro vector de impulso de energía total. Pero si incluye el estrés de Poincaré que mantiene unida la distribución de carga continua e incluye toda la energía, todo el impulso y todo el estrés. Entonces todo se resuelve. Realmente necesitas el estrés y toda la energía y el impulso para que funcione.
Una aparente contradicción con m=m0/1−v2/c2−−−−−−−−−√m=m0/1−v2/c2m = m_0/\sqrt{1-v^2/c^2} [duplicado]
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v