Comparando mi pregunta para dar una descripción de Loop Quantum Gravity, su abuela podría entender que lo que estoy buscando aquí es un juguete para un niño pequeño ( un estudiante graduado de pre-QFT).
Busco generalizar a la gravedad el siguiente modelo minimalista de magnetismo (que es un ejemplo de libro de texto para el fenómeno de las oscilaciones de Aharonov-Bohm y las corrientes persistentes).
Tome un espacio de Hilbert de tres estados con una matriz hamiltoniana con . Al interpretar estos estados como sitios de localización para, digamos, un electrón en un anillo mesoscópico, uno puede preguntarse cómo incluir un campo magnético que atraviese el anillo. La respuesta está dada por la fase de calibre invariante que es la fase de Aharonov-Bohm para una trayectoria cerrada (1-2-3) a lo largo del anillo; es igual al flujo magnético a través del anillo expresado en unidades de . Si , entonces el estado de energía más bajo transporta una corriente persistente, y el modelo sirve como un buen punto de partida para discutir esta parte de la física mesoscópica.
Creo que sería genial tener un ejemplo de juguete para la gravedad (clásica y cuántica). Probablemente se puede encontrar en un libro pedagógico, así que por favor dé una referencia si conoce uno.
Más concretamente, mi pregunta sería:
¿Cuál es el número mínimo de puntos para definir un análogo de diferencia finita significativo de la acción de Hilbert-Einstein y cómo hacerlo? ¿Se pueden demostrar las ideas básicas de la cuantificación LQG en un modelo de estado finito de este tipo?
Estoy buscando un simple, posiblemente menos de ejemplo tridimensional para demostrar la posibilidad de eliminar la gravedad mediante transformaciones de Lorentz locales pero no globales de la misma manera que el modelo de juguete anterior demuestra la relación entre lo local y lo global simetría.
Un buen ejemplo de la gravedad en este sentido es la cuerda cósmica relativista, o la partícula puntual equivalente en 2+1 dimensiones. La solución exacta de GR en presencia de una cuerda cósmica es un ángulo de déficit --- lo que significa que el espacio-tiempo es plano excepto por una cuña recortada y los dos lados identificados. Esto se puede encontrar resolviendo las ecuaciones de Einstein 2+1, pero es más fácil simplemente notando que en tres dimensiones, el tensor de Riemann está determinado por el tensor de Ricci (tiene el mismo número de componentes independientes, seis), así que donde sea que el El tensor de Ricci es cero, el espacio-tiempo es plano.
Ahora puedes preguntar cuál es la fase para que una partícula gire alrededor de la cuerda cósmica. Si la partícula gira en dos direcciones alrededor de la cuerda, con la cantidad de movimiento perpendicular al eje de la cuerda, e interfiere consigo misma, se obtiene una fase relativa adicional igual a la cantidad de movimiento multiplicada por el parámetro de impacto (distancia a la cuerda) por el ángulo de corte, que es la densidad de masa de la cuerda. Esto da una fase similar a Aharonov-Bohm, igual a la masa 2+1 contenida dentro de la región de interferencia. Si superpone cuerdas, suma el ángulo de déficit, y el ángulo de déficit está determinado por la fase independiente de la ubicación de la partícula dentro del bucle (al igual que el flujo magnético).
Creo que este es el mejor análogo de Aharanov Bohm en gravedad. La mejor referencia es el artículo de t'Hooft sobre gravedad 2+1, que es uno de estos documentos (lo leí en una colección de reimpresión llamada "Under the Spell of the Gauge Principle", y no recuerdo el título, pero el El tercer artículo que se enumera a continuación está disponible en línea, y las relaciones en el interior son a las que me refiero)
Esta es la base del trabajo posterior sobre la versión cuántica de t'Hooft, Witten y muchos otros. Es un tema muy activo en la física matemática ahora, debido a la intersección con la teoría de campos topológicos, grupos cuánticos y nudos.
eslavos
Ron Maimón