¿Un J de 4 corrientes determina un tensor F de maxwell-faraday único hasta la isometría?

Ecuaciones de Maxwell en una variedad pseudo-Riemanniana ( METRO , gramo a b ) decir,

d a F b C = ∇ [ a F b C ] = 0 ,

∇ a F a b = j b ,

dónde d a es la derivada exterior, ∇ a es la derivada covariante compatible con gramo a b (es decir ∇ a gramo b C = 0 ), y F a b es antisimétrico ( F a b = − F b a ).

Dejar j a , F a b y j ~ a , F ~ a b ser dos soluciones a las ecuaciones de Maxwell en esta forma. Suponer que j a y j ~ a son equivalentes hasta la isometría, en que φ ∗ j a = j ~ a por alguna isometria φ : METRO → METRO .

Pregunta : ¿Se sigue que F a b y F ~ a b son equivalentes hasta la isometría, en que φ ∗ F a b = F ~ a b ?

La Relatividad General de Wald (1984, Capítulo 10, Problema 2) muestra un sentido en el que la respuesta es sí en el caso sin fuentes ( j a = 0 ). Me pregunto qué se sabe sobre el caso no libre de fuentes.

Respuestas (2)

No, también necesita una condición inicial para el campo y una condición límite para el campo. Después de todo, una solución de onda plana para las ecuaciones de Maxwell tiene la misma corriente de 4 que el vacío.

Solo para aclarar, ¿qué quiere decir con "condiciones iniciales y de contorno" en este contexto?
@soulphysics: Digamos que resolvemos esto en términos del vector potencial A a ( X , t ) . Entonces, para encontrar una solución única a las ecuaciones de Maxwell, necesitamos saber el valor de A a ( X , 0 ) y A ˙ a ( X , 0 ) , así como una condición de caída para A en el infinito, o A ( 0 , t ) en alguna superficie.
No me queda claro cómo la fijación de un vector potencial ayuda al problema de la unicidad. Desde F a b es cerrado y antisimétrico, siempre puedo (localmente) escribirlo como la derivada exterior de un potencial vectorial, F a b = d a A b . Y, por supuesto, hay muchos otros potenciales vectoriales equivalentes A ^ a = A a + ∇ a x para algún campo escalar x (es decir, relacionados por una transformación de calibre). Pero todos ellos dan lugar al mismo tensor de Maxwell-Faraday F a b . Entonces, ¿cómo proporciona esto una restricción adicional?
Al fijar un valor en el infinito, puedo ver cómo eso proporciona una restricción adicional. Es común, por ejemplo, exigir que F a b desaparecer en el infinito, o fuera de un conjunto compacto, o algo así. Pero supongo que no es obvio para mí cómo eso resuelve el problema de la unicidad en este contexto general.
@soulphysics: porque una onda plana tiene un tensor de Maxwell diferente al del vacío. Las dos soluciones no están relacionadas por una diferencia de calibre. Son estados físicos diferentes, pero ambos tienen j m = 0 .
Este es el estándar para la solución de un sistema de PDEs. Necesita una condición inicial y un conjunto de condiciones de contorno.
La idea de soluciones avanzadas y retardadas también es importante aquí. Puedes imaginar una densidad de corriente que es una función delta en el espacio-tiempo. Luego, cuando la corriente aparece y desaparece, tienes una esfera de radiación em saliendo a la velocidad de la luz. Pero luego también puede invertir el tiempo de esta solución para ver una esfera de radiación moviéndose hacia adentro en un tiempo negativo, hasta que aparece y desaparece una corriente para matar la radiación en el tiempo cero.

Ok, aquí está mi propio argumento (pedante) de que la respuesta es "No". Tres pasos de fondo:

  1. Llevar ( METRO , gramo a b ) y ( METRO ~ , gramo ~ a b ) ser dos variedades pseudo-Riemannianas relacionadas por una isometría φ : METRO → METRO ~ . Siempre usaré una tilde ( ~ ) para referirse a objetos en la segunda variedad y sin tilde para referirse a objetos en la primera. Dejar φ ∗ ser el impulsor y φ ∗ el retroceso de φ .

  2. Dejar F a b y j a Sea cualquier solución a las ecuaciones de Maxwell en ( METRO , gramo a b ) que no es fuente libre, es decir, ∇ a F a b = j b ≠ 0 .

  3. Dejar mi ~ a b y 0 ser una solución no trivial a las ecuaciones de Maxwell en ( METRO ~ , gramo ~ a b ) eso es fuente libre, es decir ∇ a mi a b = 0 y mi a b ≠ 0 .

Ahora, podemos enunciar el contraejemplo: sea F ~ a b Sea el campo tensorial en ( METRO ~ , gramo ~ a b ) definido por,

F ~ a b := φ ∗ F a b + mi ~ a b .

Es antisimétrico y cerrado, ya que ambos φ ∗ F a b y mi ~ a b son, por lo que proporciona una solución a las ecuaciones de Maxwell. Deje que la corriente 4 asociada con F ~ a b ser dado por,

j ~ b := ∇ ~ a F ~ a b .

Entonces, j b y j ~ b están relacionados por una isometría:

φ ∗ j b = φ ∗ ∇ a F a b = ∇ a φ ∗ F a b = ∇ a ( F ~ a b − mi ~ a b ) = ∇ a F ~ a b = j ~ b ,

donde la segunda igualdad aplica el hecho de que φ es una isometría, la tercera la definición de F ~ a b , y el cuarto el hecho de que mi ~ a b es libre de fuente. Y todavía, φ ∗ F a b ≠ F ~ a b por construcción.

Que curioso.

Probablemente me estoy perdiendo algo obvio, pero ¿dónde usaste la hipótesis? j b ≠ 0 ? ¿O esto se sostiene sin esa suposición?
@ChrisWhite: no, creo que tienes razón. Esa suposición no es necesaria.
Entonces, ¿estás diciendo "no" a una situación en la que Wald dijo "sí"? Siento que todavía me falta algo sutil, tal vez en la forma particular en que Wald formula la pregunta ( D a mi a = D a B a = 0 iirc), pero no he pensado completamente en esto.
Creo que Wald tiene más condiciones iniciales que solo una corriente de 4 j a , al especificar el valor de mi a y B a sobre una hipersuperficie (asumiendo entonces, también, que el espacio-tiempo es globalmente hiperbólico).
¿Un J de 4 corrientes determina un tensor F de maxwell-faraday único hasta la isometría?
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