Transformada de Fourier en función de onda de partícula libre

Question

Transformada de Fourier en función de onda de partícula libre

QuantumOscillator

Estaba leyendo Introducción a la mecánica cuántica de David Griffiths y estoy en el Capítulo 2, página 45. Dice que

La solución general de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo sigue siendo una combinación lineal de soluciones separables (solo que esta vez es una integral sobre la variable continua $k$ , en lugar de una suma sobre el índice discreto).

Esto significa que podemos escribir partículas libres con función de onda general con $\Psi(x,t)$ como la transformada de Fourier de la función propia de la ecuación de Schrödinger (creo). es decir,

Ψ (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) {mi}^{i (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t)} d k

$\begin{equation} \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \phi(k) e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk \end{equation}$ dónde

ϕ (k)

$\phi(k)$ es función propia de la ecuación de Schrödinger para partículas libres. (Creo)
Pero luego escribe

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ (X, 0) {mi}^{- i k X} d X

$\begin{equation} \phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \Psi(x,0)e^{-ikx}dx \end{equation}$ del teorema de Plancherel. Esto significa claramente que la función propia de la ecuación de Schrödinger dependerá de la función de onda inicial de la partícula.
¿Es correcta mi interpretación? No estoy seguro porque esto no es muy intuitivo para mí.

Además, ¿significa esto que la transformada de Fourier de cualquier función de onda general de partículas libres $\Psi(x,t)$ Qué es la función propia de la ecuación de Schrödinger?

Respuestas (2)

Transformada de Fourier en función de onda de partícula libre

Tomas Fritsch · Answer 1

$Ψ (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) {mi}^{i (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t)} d k$ $\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \phi(k) e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}dk$ dónde $\phi(k)$ es la función propia de la ecuación de Schrödinger para partículas libres (creo)

No, entendiste mal tu libro de texto. $\phi(k)$ es una función completamente arbitraria. Para cualquier función $\phi(k)$ este $\Psi(x,t)$ será una solución de la ecuación de Schrödinger

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (X, t) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} Ψ (X, t)

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t)= -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi(x,t)$ simplemente porque

{mi}^{i (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t)}

$e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}$ para cualquier

k

$k$ es una solución de la ecuación de Schrödinger.

Cuando tomas la solución anterior $\Psi(x,t)$ en el momento $t=0$ , entonces tiene

Ψ (X, 0) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} ϕ (k) {mi}^{i k X} d k

$\Psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \phi(k) e^{ikx}dk$

Esto significa que $\phi(k)$ es la transformada de Fourier de $\Psi(x,0)$ . Puedes invertir esta transformación y obtener

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} Ψ (X, 0) {mi}^{- i k X} d X

$\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty} ^{\infty} \Psi(x,0) e^{-ikx}dx$

Ofek Gillon · Answer 2

Tu problema radica en esta oración:

dónde $\phi (k)$ es función propia de la ecuación de Schrödinger para partículas libres. (Creo)

Tu interpretación es incorrecta. La función propia es $e^{ikx}$ y $\phi (k)$ es solo un número que le indica el coeficiente de esta función propia al "construir" la función de onda. Puede ser una función de $k$ (cada función propia tiene una cantidad diferente en la construcción de la función de onda) pero no una función de $x$ , lo que significa que no es una función propia. La forma de calcular este número es usando la transformada de Fourier, que escribiste en tu segunda ecuación (y eso depende de la función de onda inicial, pero la función propia en sí misma no cambia ) .

Transformada de Fourier en función de onda de partícula libre

QuantumOscillator

Respuestas (2)

Tomas Fritsch

Ofek Gillon

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