Transformación de Lorentz en GR

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Transformación de Lorentz en GR

xpsf

Trato de hacer cálculos básicos de SR con el formalismo más pesado de GR para ver si lo entiendo bien.

El cambio de coordenadas es espacio-tiempo : los cambios de coordenadas en el espacio-tiempo son cambios de mapas de coordenadas en el $(\mathbb{R}^4,\eta)$ Variedad lorentziana. Para las coordenadas cartesianas tenemos un mapa global y es la identidad. Si queremos ir a otra coordenada tomamos otro atlas de $(\mathbb{R}^4,\eta)$ luego realizamos los cambios de coordenadas como se ve en los cursos de geometría diferencial.

Cambio de coordenadas en espacios tangentes : los espacios tangentes tienen una base natural dada por la coordenada en la variedad. Para cambiar las coordenadas en espacios tangentes, es lo mismo que para los espacios vectoriales generales: hacemos una combinación lineal de los vectores base, luego deducimos cómo cambian los componentes, etc.

Problema : cuando hablamos de impulsos de Lorentz es el $x$ dirección en RR, solemos escribir

[\begin{matrix} γ & - β γ & 0 & 0 \\ - β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} t \\ X \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} t^{'} \\ X^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \end{matrix}]

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \gamma&-\beta\gamma&0&0\\ -\beta\gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t\\x\\y\\z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{bmatrix} \end{equation}$ con las notaciones habituales. Solemos decir que "cambiamos de coordenadas" de

(t, x, y, z)

$(t,x,y,z)$ a

(t^{'}, x^{'}, y^{'}, z^{'})

$(t',x',y',z')$ .

Dado que es una transformación lineal entre cuatro vectores, ¿es un cambio de coordenadas en un espacio tangente?
no son los $(x,y,z,t)$ se supone que son las coordenadas en el espacio-tiempo? siempre vi $x^\mu$ como siendo el $\mu$ -ésima componente de un mapa de coordenadas $x:U\subset\mathcal{M}\to\mathbb{R}^4$ , $\mathcal{M}$ un múltiple
De manera más general, ¿cuál es realmente el papel de la transformación de Lorentz en el espacio-tiempo de la curva? ¿Qué significa realmente "marco de referencia" en este contexto?

Me encantaría leer sobre eso, pero no vi nada en las referencias clásicas de GR.

anonjohn

Las transformaciones de Lorentz deben interpretarse como un conjunto especial de mapas de transición de gráficos: los que son lineales. Puede preguntarse por qué los vectores (como la velocidad, la aceleración, etc.) también se transforman de esta manera en SR. Dado un mapa de transición de gráfico

x^{'} (x)

$x'(x)$ , los vectores (que viven en el espacio tangente) se transforman bajo la acción

\frac{\partial x^{'}}{\partial x}

$\frac{\partial x'}{\partial x}$ . En el caso de transformaciones lineales, esta matriz pasa a ser idéntica a la matriz que implementa el cambio de gráfico.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/544193/2451

Oro

Con respecto a su última pregunta, la definición más precisa de un marco de referencia que he encontrado es la de Sachs & Wu en el libro General Relativity for Mathematicians. Un marco de referencia es un campo vectorial unitario dirigido al futuro similar al tiempo. Te da una división entre el espacio y el tiempo en cada espacio tangente del conjunto abierto en el que se define. Una definición alternativa es definir un marco de referencia como una sección del paquete de marcos ortonormales, es decir, una elección de base ortonormal de campos vectoriales.

Respuestas (2)

Transformación de Lorentz en GR

Las transformaciones de Lorentz deben interpretarse como un conjunto especial de mapas de transición de gráficos: los que son lineales. Puede preguntarse por qué los vectores (como la velocidad, la aceleración, etc.) también se transforman de esta manera en SR. Dado un mapa de transición de gráfico $x'(x)$ , los vectores (que viven en el espacio tangente) se transforman bajo la acción $\frac{\partial x'}{\partial x}$ . En el caso de transformaciones lineales, esta matriz pasa a ser idéntica a la matriz que implementa el cambio de gráfico.
Con respecto a su última pregunta, la definición más precisa de un marco de referencia que he encontrado es la de Sachs & Wu en el libro General Relativity for Mathematicians. Un marco de referencia es un campo vectorial unitario dirigido al futuro similar al tiempo. Te da una división entre el espacio y el tiempo en cada espacio tangente del conjunto abierto en el que se define. Una definición alternativa es definir un marco de referencia como una sección del paquete de marcos ortonormales, es decir, una elección de base ortonormal de campos vectoriales.

Andrés Steane · Answer 1

Creo que su pregunta se resuelve con la siguiente observación. En un espacio curvo $(t,x,y,z)$ en general no hacen un vector de 4, pero $(dt,dx,dy,dz)$ hacer un 4-vector.

En GR puede usar una transformación de Lorentz para cambiar entre marcos inerciales locales en las cercanías de cualquier evento dado. Solo aplica dicha transformación localmente.

Carlos Francisco · Answer 2

La transformación de Lorentz es un cambio de base del espacio tangente. El espacio tangente se define como un espacio vectorial asociado con un punto en el espacio-tiempo. No se debe confundir esto con las coordenadas. Las coordenadas no definen vectores en espacios-tiempos curvos en general. Por lo tanto, podemos aplicar la transformación de Lorentz a los vectores, como el momento, pero no a las coordenadas.

Un marco de referencia consta de la materia de referencia, el aparato y los procedimientos necesarios para determinar un sistema de coordenadas de espacio-tiempo.

Un sistema de coordenadas es un mapeo de eventos físicos a coordenadas con la forma $(x^0, x^1, x^2, x^3)$

Generalmente $(x^0, x^1, x^2, x^3) = (t, x, y, z)$ dónde $t$ es la hora del evento y $(x, y, z)$ describe la posición del evento, o podemos estar usando coordenadas polares $(r,\theta, \phi)$ , y también podemos usar coordenadas más generales.

Tenga en cuenta que, debido a que la métrica de minkowski es plana, el espacio tangente y el espacio original tienen la misma estructura, y cualquier cambio de base en el espacio tangente tiene una transformación de coordenadas global correspondiente. Entonces, cualquier impulso de Lorentz o rotación de 3 en el espacio tangente tiene una transformación de coordenadas equivalente, que es equivalente a aplicar el impulso / rotación a cada punto en el espacio-tiempo.
@JerrySchirmer, quizás haya ambigüedad en la pregunta original. Si estamos hablando de gr, no debemos asumir que el espacio-tiempo original es plano. Si asumimos que el espacio-tiempo es plano, de hecho no hay diferencia entre sr y gr, y ni siquiera hay dudas. No creo que eso sea lo que pretendía el OP, y ciertamente no se asume en mi respuesta.
Oh, solo estoy agregando sabor explicando por qué esto puede resultar confuso para las personas, porque para los espaciostiempos planos, el espacio y el espacio tangente tienen la misma estructura.
¿Qué pasa con el comentario de @Anonjohn? ¿Es la transformación de Lorentz también una combinación particular de gráficos para cambiar de coordenadas (en el espacio-tiempo, no en el espacio tangente)?
@xpsf, la transformación de Lorentz se aplica solo a los marcos de inercia en el espacio-tiempo plano. En relatividad general se refiere a transformaciones en un espacio tangente.

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anonjohn

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Carlos Francisco

jerry schirmer

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