Transformación de Lorentz de un tensor antisimétrico

Más o menos, excepto que generalmente no se puede descomponer un tensor de rango 2 en un producto de tensores de rango 1.

Dejar$\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$Sea una transformación de Lorentz arbitraria. Como probablemente viste en Peskin, esta transformación actúa sobre los vectores como

$$x^{\mu} \mapsto \Lambda^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}.$$

Podemos extender este principio a un tensor con un número arbitrario de índices ascendentes. Por ejemplo, para un tensor de rango 2$T^{\mu \nu},$tenemos

$$T^{\mu \nu} \mapsto \Lambda^{\mu}{}_{\rho} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} T^{\rho \sigma}.$$

Así, por ejemplo, desde la afirmación de que$\Lambda$es una transformación de Lorentz es equivalente a la afirmación de que deja la métrica de Minkowski$\eta^{\mu \nu}$invariante,$\Lambda$debe satisfacer$\eta^{\mu \nu} \mapsto \eta^{\mu \nu},$o

$$\Lambda^{\mu}{}_{\rho} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \eta^{\rho \sigma} = \eta^{\mu \nu}.$$

Ahora, ¿cómo debería$\Lambda$actuar sobre los índices a la baja? Bueno, podemos obtener un índice a la baja de un índice al alza bajando usando la métrica. Entonces, comenzando con$x_{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\nu}$y usando el hecho de que$\Lambda$deja la métrica invariante, tenemos

$$x_{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\nu} \mapsto \eta_{\mu \nu} \Lambda^{\nu}{}_{\rho} x^{\rho} = \Lambda_{\mu}{}^{\rho} x_{\rho}.$$

Esto nos dice cómo$\Lambda$debería actuar sobre los índices a la baja. Sin embargo, en el caso particular de las transformaciones de Lorentz, el tensor$\Lambda_{\mu}{}^{\rho}$tiene una propiedad particular. Si lo multiplicamos por el tensor$\Lambda^{\tau}{}_{\rho},$encontramos

$$\Lambda^{\tau}{}_{\rho} \Lambda_{\mu}{}^{\rho} = \Lambda^{\tau}{}_{\rho} (\eta_{\mu \nu} \Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \eta^{\sigma \rho}) = \eta_{\mu \nu} (\Lambda^{\nu}{}_{\sigma} \Lambda^{\tau}{}_{\rho} \eta^{\sigma \rho}) = \eta_{\mu \nu} \eta^{\nu \tau} = \delta_{\mu}{}^{\tau}.$$

Entonces tenemos$\Lambda^{\tau}{}_{\rho} \Lambda_{\mu}{}^{\rho} = \delta_{\mu}{}^{\tau} = \Lambda^{\tau}{}_{\rho} (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu}.$

Entonces, en general, concluimos$\Lambda_{\mu}{}^{\rho} = (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu}.$Entonces, mientras que los índices alcistas se transforman naturalmente bajo$\Lambda$, los índices a la baja se transforman naturalmente bajo$\Lambda^{-1}.$Eso es,

$$x_{\mu} \mapsto \Lambda_{\mu}{}^{\rho} x_{\rho} = (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu} x_{\rho}.$$

Ahora es fácil responder a su pregunta original de "¿cómo funciona un tensor de rango 2?$C_{\mu \nu}$transforma bajo una transformación de Lorentz?" Como en el caso de múltiples índices ascendentes, podemos extender nuestro principio para ver

$$C_{\mu \nu} \mapsto (\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\mu} (\Lambda^{-1})^{\sigma}{}_{\nu} C_{\rho \sigma}.$$

O equivalente,

$$C_{\mu \nu} \mapsto \Lambda_{\mu}{}^{\rho} \Lambda_{\nu}{}^{\sigma} C_{\rho \sigma}.$$