Transformación de Lorentz

El papel del símbolo de transposición

Los vectores suelen estar representados por la matriz columna.

$$\Delta x= \begin{bmatrix}c\Delta t \\ \Delta x \\\Delta y\\ \Delta z \end{bmatrix} .$$ De este modo $$\Delta x^T= \begin{bmatrix}c\Delta t & \Delta x &\Delta y& \Delta z \end{bmatrix} .$$ El intervalo invariante en la representación matricial viene dado por $$\Delta s^2=\Delta x^T\eta\Delta x=\begin{bmatrix}c\Delta t & \Delta x &\Delta y& \Delta z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\Delta t \\ \Delta x \\\Delta y\\ \Delta z \end{bmatrix}$$ $$=(c\Delta t)^2 - \Delta x^2 -\Delta y^2 - \Delta z^2$$

¿Por qué es necesario multiplicar por Λ?

Debido a que la ecuación de transformación de Lorentz está dada por

$$\Delta x' = \Lambda \Delta x$$ reemplazando esto en el intervalo$(\Delta s)^2 = (\Delta x')^T \eta (\Delta x')$obtenemos $$(\Delta s)^2= (\Lambda\Delta x)^T \eta (\Lambda\Delta x)=\Delta x^T\Lambda^T\eta \Lambda\Delta x$$
esto es lo mismo que$(\Delta x)^T \eta (\Delta x)$. Analízalo con la ecuación anterior, obtendrás$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$

Para responder tu pregunta:

1. Si miras$\mathrm{(1.26)}$atentamente, verás que tenemos

   $$(\Delta s)^2 = (\Delta x )^T \eta(\Delta x) = (\Delta x')^T \eta(\Delta x')$$ Esto es igualar el elemento de línea en los dos marcos inerciales diferentes. Observe que la expresión del lado derecho es una función de$\Delta x'$no$\Delta x$. Usando$\Delta x' = \Lambda \Delta x$y$(\Delta x')^T = (\Delta x)^T \Lambda^T$se puede ver donde los dos$\Lambda$y$\Lambda^T$han venido.

2. El símbolo de transposición se debe a que el elemento de línea debe ser un escalar, por lo que la "matriz" que representa a ambos$\Delta x$los términos deben tener dimensiones inversas a la "matriz" que representa la métrica. Personalmente, no me gusta este formalismo, y si continúa con la relatividad general, conocerá los tensores y la convención de suma de Einstein. En este formalismo es mucho más claro porque el elemento de línea se da como

   $$ds^2=g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$$ dónde$g_{\mu \nu}$es la métrica. En esta notación, puede ver claramente que el elemento de línea es un escalar y que la métrica es un tensor (0,2), por lo que$dx^\mu dx^\nu$, si se trata como un objeto único como en su pregunta, debe ser un tensor de rango (2, 0).

Debo admitir que personalmente no me gusta la forma dada en$\mathrm{(1.26)}$ya que siento que es confuso en cuanto a lo que$\Delta x$es y por qué, como usted pidió, queremos tomar la transposición. Así que escribiré la misma derivación en la notación utilizada en la relatividad general, espero que pueda encontrar esto más claro.

Tenemos el elemento de línea en los dos marcos como

$$ds^2 = \eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu = \eta'_{\mu' \nu'} dx^{\mu'} dx^{\nu'}$$ donde estamos trabajando en el espacio de Minkowski (relatividad especial) por lo que$\eta = \eta'$. El$\mu'$y$\nu'$son para denotar que estos son nuevos índices en el nuevo marco. Estos están dados por la transformación de Lorentz. $$dx^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu dx^\mu.$$ Tenga en cuenta que aquí la "matriz" de transformación es en realidad un tensor (1,1). La convención de suma de Einstein nos dice que sumamos sobre los repetidos$\mu$Entonces, ¿cuál es el único índice libre en el lado derecho?$\mu'$, al igual que en el lado izquierdo. Sustituyendo esto en lo anterior da $$\eta_{\mu \nu}dx^\mu dx^\nu = \eta'_{\mu' \nu'} \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^{\nu '}{}_\nu dx^\mu dx^\nu$$ Entonces, $$\eta_{\mu \nu} = \Lambda^{\mu'}{}_\mu \Lambda^{\nu'}{}_{\nu} \eta'_{\mu' \nu'}$$ que es lo mismo que $$\eta'=\Lambda^T\eta\Lambda.$$