Homogeneidad e isotropía y derivación de las transformaciones de Lorentz

En esta buena referencia , el autor asume el principio de relatividad + homogeneidad + isotropía y deduce las transformaciones de coordenadas generales que contienen las transformaciones de Lorentz y Galileo. Además impone el postulado de la constancia de la velocidad de la luz, restringiendo las transformaciones al tipo de Lorentz.

La respuesta a su pregunta depende de lo que entienda por "marco de referencia" o "laboratorio local". Además, tenga en cuenta que estos dos postulados se expresan en un lenguaje informal, por lo que habría bastante libertad en la forma en que se reformulan en un lenguaje axiomático formal.

Si su laboratorio local es lo suficientemente grande como para abarcar faltas de homogeneidad medibles, entonces el principio de relatividad de Galileo (de la indetectabilidad del movimiento inercial dentro del propio marco de referencia y, por lo tanto, la independencia de la ley física del movimiento inercial) detectará el movimiento en relación con esas faltas de homogeneidad. Medidores de tensión en su nave espacial que son lo suficientemente grandes como para sentir los efectos de las mareas de un planeta cercano a medida que pasa por este último, por ejemplo.

Sin embargo, la anisotropía es diferente: dependiendo de su causa raíz, puede ser independiente del movimiento.

Pero esto no es lo que la gente suele querer decir con el principio de Galileo. Antes que nada, debe asumir una estructura múltiple para su bit local de espacio-tiempo y esa transformación entre marcos inerciales puede describirse mediante transformaciones de coordenadas. Entonces, el marco natural para una discusión como la suya estaría en una región de la variedad lo suficientemente pequeña como para comportarse como el espacio tangente / lo suficientemente pequeña como para hacer que cualquier falta de homogeneidad sea pequeña.

Si asumes solo variedades, coordenadas y transformaciones de coordenadas provocadas por el movimiento relativo, entonces el principio de Galileo te da dos cosas:

1. Muestra que la transformación sólo puede depender de la velocidad relativa;
2. Completa la estructura del grupo para las transformaciones al hacer cumplir la asociatividad.

De hecho, para codificar el principio informal de Galileo en un axioma formal para los propósitos de su discusión, probablemente tomaría como axioma que la transformación debería depender solo de la velocidad relativa.

Entonces tendría que establecer su suposición de homogeneidad como un axioma formal separado pero, como hemos argumentado anteriormente, puede dar una justificación informal de que tanto la velocidad relativa como la homogeneidad están contenidas en el principio de Galileo. Entonces, el principio de Galileo terminaría codificado como algo así como los siguientes axiomas:

1. Axioma de estructura múltiple;
2. Las transformaciones entre marcos inerciales se describen mediante transformaciones de coordenadas;
3. Las transformaciones dependen únicamente de la velocidad relativa;
4. Homogeneidad.

Necesita algo más para demostrar la linealidad: que las transformaciones de coordenadas provocadas por el movimiento de inercia relativa son funciones continuas de las coordenadas del espacio-tiempo. Podría incluir la continuidad en el punto 2 anterior, pero diría que esto va un poco más allá del espíritu del principio de Galileo; como está claro, todo depende de cómo codifique la declaración informal en axiomas.

De los cuatro axiomas anteriores, junto con la continuidad de la dependencia de las coordenadas del espacio-tiempo, se sigue la linealidad, como discuto en mi respuesta a esta pregunta aquí la semana pasada.

Una vez que tenga la linealidad (y, por lo tanto, que las transformaciones se describan mediante un grupo de matriz lineal) y la constancia de la suposición de la velocidad de la luz, aún debe asumir otras cosas para llegar a la transformación de Lorentz. La constancia de la velocidad de la luz significa esencialmente que los vectores propios de la$2\times2$matriz de la transformación unidimensional de Lorentz son de la forma$(1,\,\pm c)$, que a su vez implican una matriz de la forma:

y luego debe asumir la isotropía espacial, que impone$\Lambda(-v) = \Lambda(v)^{-1}$(el llamado principio de reciprocidad relativista, y significa que un impulso en direcciones opuestas es la misma transformación con un cambio de signo direccional en los elementos apropiados). Luego, debe asumir la causalidad además de esto para llegar a la transformación de Lorentz: consulte, por ejemplo, los "Postulados del grupo" en la página de Wikipedia "Derivaciones de las transformaciones de Lorentz" para ver la mecánica de cómo se puede resolver esto .

Alternativamente, uno puede olvidarse del segundo postulado (constancia de$c$) y en su lugar suponer isotropía, continuidad de la transformación en su dependencia de la velocidad relativa y causalidad para inferir la existencia de una velocidad que siempre se mide como la misma en todos los marcos inerciales (casi - estas suposiciones también permiten las transformaciones de Galileo, que se excluyen por experimento). Este es el enfoque ignatowskiano y lo discuto en mi respuesta aquí .