Trabajo realizado sobre el movimiento circular

Estoy tratando de encontrar el trabajo total realizado en una pelota,$m=0.8kg$, atado a una cuerda de r = 1,6 m de largo y balanceado en un círculo vertical.

Entiendo que el trabajo total realizado por la tensión en la cuerda y la gravedad es 0 para un círculo completo, pero tengo problemas para encontrar el trabajo realizado por la gravedad cuando la pelota está en su punto más bajo y en su punto más alto, trabajo hecho durante un semicírculo.

Sé que a medida que la pelota se balancea, cambia constantemente de dirección y, por lo tanto, la$\theta$entre$F_g$y$\Delta s$cambios.

Así que hay un theta variable que está asociado con ambos$F_g,\Delta S$

Yo sé eso

$$W_{g}=\int_0^\pi -F_g \cdot dl$$

Si$\Delta S = r\theta$

entonces

$dl=ds=rd\theta$

y$F_g=mg$

$$W_{g}=\int_0^\pi -mgrcos\theta d\theta$$

$$W_{g}=-mgr[sin(\pi)-sin(0)]=0J$$

No entiendo qué estoy haciendo mal, la respuesta es -25.1J. Tiene sentido que la respuesta sea 0 porque cuando la pelota está abajo y arriba,$\Delta s$y$F_g$son perpendiculares entre sí y el trabajo total aumenta hasta que$\frac{\pi}{2}$luego disminuye dando como resultado un 0J.

Entonces, ¿qué estoy haciendo mal?

Aquí está la solución: descubrí que$\Delta s = 2r$desde que empezó en$y_o=0,y_f=2r=3.2m$allí para$W_g=F_g\Delta s cos\theta=3.2mgcos(180)=-25.1J$

De acuerdo, dado que la solución real fue mucho más fácil, ¿qué hice exactamente mal con mi pensamiento inicial de tratar de resolverlo?

E irónicamente si lo hacemos:

$$W_{g}=-2mgr\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos\theta d\theta$$

$$W_{g}=-mgr[sin(\frac{\pi}{2})-sin(0)]=-25.1J$$