$\newcommand{\qd}[0]{\dot{q}}$ $\newcommand{\pd}[0]{\dot{p}}$ $\newcommand{\pq}[0]{\partial_q}$ $\newcommand{\pqo}[0]{\partial_{q_1}}$ $\newcommand{\pqt}[0]{\partial_{q_2}}$ $\newcommand{\pp}[0]{\partial_p}$ $\newcommand{\pqd}[0]{\partial_{\qd}}$ $\newcommand{\pqtd}[0]{\partial_{\dot{q}_2}}$

$\newcommand{\rd}[0]{\dot{r}}$Revisar

Comencemos con una revisión. Si tienes un sistema descrito como un Lagrangiano$L(q,\dot{q})$, el sistema evolucionará según la ecuación$d_t \pqd L = \pq L$.

Podemos definir una cantidad$p = p(q,\qd)=\pqd L$. ahora tratando$q$como parámetro, podemos invertir la dependencia de$p$en$\qd$Llegar$\qd = \qd (q,p)$(de modo que$p(q,\qd (q,p)) = p$para cualquier$q$y$p$).

Ahora definimos el hamiltoniano$H$ser la transformación legendre del lagrangiano:$H(q,p) = p \qd (q,p) - L(q,\qd (q,p))$. Si no escribimos explícitamente la dependencia de$\qd$en$q$y$p$, esta fórmula se convierte en$H= p \qd - L$.

Ahora sabemos que queremos obtener las ecuaciones de movimiento$\qd = \pp H$y$\pd = -\pq H$. Veamos cómo surgen como resultado de las ecuaciones de movimiento del lagrangiano.

Primero calculemos$\pq H$. Recuerda ahora que$\qd$es una abreviatura de$\qd(q,p)$y$L$es una abreviatura de$L(q,\qd (q ,p))$. Recuerda también,$\pqd L (q, \qd (q, p)) \equiv p(q, \qd (q,p)) = p$.

Entonces$\pq H = p \pq \qd - \pq L -\pqd L \pq \qd = (p-\pqd L) \pq \qd - \pq L= -d_t \pqd L = -\pd$. La última igualdad utiliza la ecuación de movimiento lagrangiana. Esto nos da una ecuación de movimiento. Vamos a por el otro.$\pp H = \qd + p \pp \qd - \pqd L \pp \qd = \qd + (p-\pqd L) \pp \qd = \qd$.

El hamiltion te permite trabajar con las variables.$q$y$p$en lugar de$q$y$\qd$.

Vale la pena notar que toda la discusión es válida para sistemas de dimensiones superiores si se vuelve a leer con$q \to \vec{q}$,$p \to \vec{p}$, y$\partial \to \nabla$.

el ruthiano

Ahora supongamos que tiene un sistema 2D con coordenadas$\vec{q} = (q_1, q_2)$con lagrangiano$L(\vec{q}, \dot{\vec{q}})$. Ahora supongamos que prefiere trabajar con el impulso$\vec{p} = \nabla_\dot{\vec{q}} L$, y el hamiltoniano$H(\vec{q}, \vec{p}) = \vec{p} \cdot \dot{\vec{q}} - L$. Lamentablemente tienes un problema. Tu gemelo siamés quiere trabajar en el formalismo lagrangiano. Aquí es donde el routhian es útil (hasta donde yo sé). Te comprometes y dices vamos a definir$p_1 = \partial{\dot{q}_1} L$, por lo que trabajaremos con las variables$q_1$,$p_1$,$q_2$, y$\dot{q}_2$y vamos a definir$R = p_1 \dot{q}_1 - L$.

¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento? Bien, calculemos algunas derivadas de$R$. Pensando en$q_2$y$\dot{q}_2$como parámetros tenemos un sistema unidimensional y usamos el resultado para el hamiltoniano:$\partial_{q_1} R = -\dot{p}_1$y$\partial_{p_1} R = \dot{q}_1$.

ahora que es$\pqt R$? Bien,$\pqt R = p_1 \pqt \dot{q}_1 - \pqt L - \partial_{\dot{q}_1} L \pqt \dot{q}_1 = (p_1 - \partial{\dot{q}_1} L)\pqt \dot{q}_1 - \pqt L = -\pqt L$.

Ahora, dado que no hicimos una transformación legendre con la segunda coordenada, esperaríamos que la ecuación de movimiento aún se pareciera a la lagrangiana. Eso es lo que esperamos$d_t \pqtd R = \pqt R$. Desde$\pqt R = -\pqt L = -d_t \pqtd L$, esperemos que$d_t \pqtd R = -d_t \pqtd L$. Vamos a calcular$d_t \pqtd R$.

$d_t \pqtd R = d_t (p_1 \pqtd \dot{q}_1 - \pqtd L - \partial{\dot{q}_1} L \pqtd \dot{q}_1) = - d_t \pqtd L$, que es lo que esperábamos. Por lo tanto tenemos la ecuación de movimiento que esperábamos:$d_t \pqtd R = \pqt R$.

Ahora supongamos que queremos obtener el hamiltoniano de nuestro Routhian. ¿Como se puede hacer esto? Bueno, el hamiltoniano es$p_1 \dot{q}_1 + p_2 \dot{q}_2 - L$y nuestro Routhian es$p_1 \dot{q}_1 - L$. De este modo$H = p_2 \dot{q}_2 +R$, donde por supuesto$p_2 = \partial_{\dot{q}_2} L$. En caso de que ya hayamos olvidado cuál es la expresión para el lagrangiano, veamos si podemos obtener$p_2$en términos de$\partial_{\dot{q}_2} R$.$\partial_{\dot{q}_2} R = p_1 \partial_{\dot{q}_2}\dot{q}_1 - \partial_{\dot{q}_2} L - \partial_{\dot{q}_1}L \partial_{\dot{q}_2} \dot{q}_1 = -\partial_{\dot{q}_2} L = - p_2$, entonces$p_2 = - \partial_{\dot{q}_2} R$. Usando esta expresión, podemos resolver para$\dot{q}_2$en términos de$q_1$,$p_1$,$q_2$, y$p_2$. Entonces$H(q_1, p_1, q_2,p_2) = p_2 \dot{q}_2 + R$.

Tu pregunta

Ahora que sabemos de lo que estamos hablando, estamos listos para comenzar a pensar en su pregunta. Nos dan el lagrangiano

$$L(r, \rd, \phi, \dot{\phi}) = \frac{1}{2} (\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\phi}^{2} \sin^{2}\theta_{0})-r \cos(\theta_{0})$$ . (He puesto $m=g=1$.)

Ahora se supone que debemos intercambiar un$\dot{\phi}$para$p_\phi \equiv \partial_{\dot{\phi}} L = r^{2}\dot{\phi} \sin^{2}\theta_{0}$. De este modo$\dot{\phi} = \frac{p_\phi}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}}$. El Routhian es entonces$R = p_\phi \dot{\phi} - L = \frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}} - \frac{1}{2} (\dot{r}^{2}+\frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}})+r \cos(\theta_{0}) = \frac{1}{2} (-\dot{r}^{2}+\frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}})+r \cos(\theta_{0})$.

Ahora nuestra ecuación de movimiento dice$\dot{p}_\phi = - \partial_\phi R = 0$. De este modo$p_\phi$es constante; No tengo suficiente información para obtener su valor inicial.

Como mostramos arriba, la ecuación de movimiento para$r$es$d_t \partial_{\dot{r}} R = \partial_r R$. Así obtenemos$\ddot{r} = \frac{2 p_\phi^2}{r^3 \sin^{2}\theta_{0}} - \cos(\theta)$.

Ahora para obtener el hamiltoniano del Routhian, use$p_r = - \partial_{\dot{r}} R = \dot{r}$. Entonces el hamiltoniano es$H = p_r \dot{r} +R = \frac{1}{2} (p_r^{2}+\frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}})+r \cos(\theta_{0})$. Esto se puede verificar obteniendo el hamiltoniano directamente del lagrangiano.

Bueno, creo que si lees la respuesta, eso debería aclarar todo. Hacer preguntas si olvidé algo.