Derivación de la Tercera Relación de Hamilton. ¿Dónde está el error?

Como una especie de continuación de mi pregunta anterior, me gustaría señalar dos derivaciones de la tercera relación de Hamilton que conducen a dos resultados diferentes. Claramente hay un error dentro del proceso, pero no puedo averiguar dónde se encuentra.

El primer intento es el mismo que usan mis otros compañeros de clase, y establece que si el hamiltoniano es la transformada de Legendre del lagrangiano, al tomar el diferencial total de ambos lados podemos hacer coincidir cada derivada parcial que multiplica un diferencial total común. El emparejamiento entre cada término da las Tres Relaciones de Hamilton de un plumazo.

Escribiendo la Transformada de Legendre de$H=H(q,p,t)$, en este caso debe escribirse como$H=H(q_1,\ldots,q_N,p_1,\ldots,p_N,t)$pero$N=1$El grado de libertad se asume sin pérdida de generalidad. El hamiltoniano del sistema es entonces:

$$H=p\dot q-L$$ tomando el diferencial exacto de ambos lados se obtiene: $$\mathrm{d}H=\dot q\mathrm{d}p+p\mathrm{d}\dot q-\mathrm{d}L$$ pero aquí $L=L(q,\dot q,t)$por lo que el diferencial total lagrangiano es igual a: $$\mathrm{d}L=\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot q,t}\mathrm{d}q+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)_{q,t}\mathrm{d}\dot q+\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t$$ ya que por definición el momento canónico $p$Se define como $(\partial_{\dot q}L)_{q,t}$, no habría sido posible escribir la primera ecuación sin esta definición. Usando la Ecuación de Euler en la primera derivada parcial, obtenemos: $$\mathrm{d}L=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)_{q,t}\mathrm{d}q+p\mathrm{d}\dot q+\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t=\dot p\mathrm{d}q+p\mathrm{d}\dot q+\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t$$ reemplazando la última ecuación en la segunda ecuación obtenemos: $$\mathrm{d}H=\dot q\mathrm{d}p+p\mathrm{d}\dot q-\dot p\mathrm{d}q-p\mathrm{d}\dot q-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t=\dot q\mathrm{d}p-\dot p\mathrm{d}q-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t$$ Hasta aquí, todo bien, ahora solo necesitamos escribir el diferencial exacto explícito del hamiltoniano y verificar los diferenciales entre las expresiones: $$\begin{align} \mathrm{d}H&=\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p,t}\mathrm{d}q&+&\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t}\mathrm{d}t&+&\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{q,p}\mathrm{d}t\\ &=\qquad\dot p\mathrm{d}q&-&\qquad\dot q\mathrm{d}p&-&\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t \end{align}$$ entonces se pueden obtener tres relaciones de Hamilton: $$\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p,t}=\dot p\quad ;\quad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t}=-\dot q\quad ;\quad \left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{p,q}=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}$$ La segunda derivación es más rápida, porque en lugar de tomar el diferencial total de ambos lados de la Transformada de Legendre, tomamos el tiempo total derivado: $$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}$$ luego, expandiendo la derivada temporal total del Lagrangiano, y aplicando las mismas definiciones que antes: $$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}+\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot q,t}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)_{q,t}\frac{\mathrm{d}\dot q}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}+\dot p\dot q+p\ddot q$$ pero $\dot p\dot q+p\ddot q = \mathrm{d}(p\dot q)/\mathrm{d}t$, por lo que sustituyendo la última ecuación por la diferencial de tiempo total, obtenemos: $$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}-\dot p\dot q-p\ddot q=\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}-\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}$$ por lo que la última, tercera relación de Hamilton es: $$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\quad\text{is different from}\quad \left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{p,q}=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}$$ La pregunta final es: ¿ por qué estos métodos dan resultados diferentes? Si uno de ellos es incorrecto, ¿dónde está el error? Esto es de un curso de segundo año en Ingeniería Física, pero se agradecería señalar la trampa en mi razonamiento.