Torque sobre dipolo eléctrico colocado en campo eléctrico no uniforme

el par$\tau$en un dipolo eléctrico con momento dipolar p en un campo eléctrico uniforme E viene dado por

$$\tau = p \times E$$ donde la "X" se refiere al producto vectorial vectorial.

Ref: artículo de Wikipedia sobre el momento dipolar eléctrico .

Demostraré que el momento de torsión en un dipolo ideal (puntual) en un campo no uniforme está dado por la misma expresión.

Uso negrita para indicar vectores.

Comencemos con un dipolo eléctrico de dimensión finita, calculemos el par y finalmente dejemos que la separación de carga d sea cero con el producto de carga q y d siendo constante.

Tomamos como origen del sistema de coordenadas el punto medio del dipolo, equidistante de cada carga. La posición de la carga positiva se denota por$\mathbf r_+$y el campo eléctrico asociado y la fuerza por$\mathbf E_+$y$\mathbf F_+$, respectivamente. La notación de estas mismas cantidades para la carga negativa se denota de manera similar con un signo - que reemplaza al signo +.

El momento de torsión sobre el punto medio del dipolo de la carga positiva está dado por

$$\mathbf \tau_+ = \mathbf r_+ \times \mathbf F_+$$

dónde

$$\mathbf F_+ = q\mathbf r_+ \times \mathbf E_+(\mathbf r+)$$

De manera similar para la contribución de carga negativa

$$\mathbf \tau_- = \mathbf r_- \times \mathbf F_-$$

dónde

$$\mathbf F_- = -q\mathbf r_- \times \mathbf E_-(\mathbf r-)$$

Tenga en cuenta que

$$\mathbf r_- = -\mathbf r_+$$

Ahora podemos escribir el torque total como

$$\mathbf \tau_{tot} = \mathbf \tau_- + \mathbf \tau_+ =q\mathbf r_+ \times (\mathbf E(\mathbf r_+)+\mathbf E(\mathbf r_-))$$

Es claro que al tomar el límite cuando la separación de carga d tiende a cero, la suma de campos eléctricos solo contendrá términos de orden par en d.

Señalando que

$$\mathbf |r_+| = \frac{d}{2}$$

y definiendo de la manera habitual

$$\mathbf p = q\mathbf d = q(\mathbf r_+ - \mathbf r_- )$$

Podemos escribir eso

$$\tau_{tot} = \mathbf p \times \mathbf E(0) + \ second \ order \ in \ d$$

Como tomamos el límite en el que d tiende a cero y el producto qd es constante, el término de segundo orden desaparece.

Así, para un dipolo ideal (puntual) en un campo eléctrico no uniforme, el momento de torsión viene dado por la misma fórmula que para un campo uniforme.

Tenga en cuenta que no es correcto comenzar con la expresión de una fuerza en un dipolo ideal/puntual en un campo no uniforme y luego calcular el par a partir de esta fuerza. Para derivar esta expresión, primero se termina tomando el límite de un dipolo puntual (en el que hay fuerza cero en un campo uniforme) y luego se encuentra un par de torsión de cero, lo cual es incorrecto. Hay que empezar con el caso de un dipolo finito, calcular el par y solo entonces pasar al límite.

Cuando p y E son paralelos y antiparalelos, el par es cero, por lo que sí es posible cero. Pero el caso en el que p y E son antiparalelos es el de un equilibrio inestable, y una pequeña perturbación angular hará que el dipolo experimente un par que intenta alinear el dipolo con el campo eléctrico.

Si el dipolo es lo suficientemente pequeño, entonces la fuerza sobre el dipolo sería:

$$\vec{F}=\nabla(\vec{p}.\vec{E})$$

y en consecuencia el torque seria:

$$\vec{F} \times \vec{r}=\nabla(\vec{p}.\vec{E}) \times \vec{r}$$

donde r es la longitud del dipolo