Topología de superficies equipotenciales

Pensemos en superficies equipotenciales planas, digamos que son paralelas al plano xy, entonces aparentemente pag X y pag y son cantidades conservadas.

A continuación, pasemos a los equipotenciales cilíndricos. Entonces pag z y pag ϕ se conservan de las simetrías. La otra forma en que podemos pensar es que se puede obtener un cilindro al identificar dos bordes opuestos de un rectángulo. Entonces podemos mapear pag X → pag z , pag y → pag ϕ .

Hagamos el plegado una vez más, de modo que el cilindro ahora se convierta en un toro. Si cree en la topología, entonces deberíamos esperar dos momentos conservados, asociados con la órbita del círculo rojo en la imagen y el círculo magenta. Pero un cálculo cuidadoso que invoque el teorema de Noether no parece respaldar esta creencia porque la transformación a lo largo del círculo rojo no parece preservar el lagrangiano y, por lo tanto, no proporciona un impulso conservado.

Para ampliar un poco más, uso las siguientes coordenadas en el toro, donde θ es el ángulo en círculos menores, y ϕ está en el círculo mayor. Entonces el Lagrangiano expresado en términos de θ y ϕ depende de θ , entonces pag θ no se conserva.

Entonces, si crees en la topología, ¿dónde está la otra simetría?

X ( θ , φ ) = ( R + r porque ⁡ θ ) porque ⁡ φ y ( θ , φ ) = ( R + r porque ⁡ θ ) pecado ⁡ φ z ( θ , φ ) = r pecado ⁡ θ

ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Estás hablando del momento lineal de una partícula que no experimenta cambios en la energía potencial que se mueve en las diferentes superficies?
Las equipotenciales cilíndricas conducen a un Lagrangiano que no depende explícitamente de z y ϕ , por lo que el MOMENTO CONJUGADO correspondiente se conserva por el teorema de Noether. Luego, dobla el cilindro en un toro, la órbita se convertiría en la línea roja en la imagen, pero ya no da lugar a un momento conjugado conservado.
No sé sobre topología, pero me parece desde un punto de vista físico que las órbitas que dibujas en el toro no conservan el impulso, ya que cualquier partícula que se mueva a través de la partícula púrpura será arrastrada por la inercia. Tal vez necesite establecer un sistema de coordenadas diferente.
La línea @Victor Purple ciertamente da un impulso conservado, porque el Lagrangiano en θ , ϕ Las coordenadas no dependen de ϕ .
Entonces, ¿cuál es la coordenada de la línea roja, cuyo momento conjugado estás buscando?
Veo que ahora tienes la transformación de coordenadas al toro. No obtienes la conservación del momento (angular) en la superficie del toro como en el cilindro porque esta superficie no es equivalente a la superficie del cilindro. Cuando doblas el cilindro, la superficie se estira en el radio exterior y se comprime en el radio interior del toroide.

Respuestas (1)

Tu toro representado (¡en la bonita figura!) no es plano y está inmerso en R 3 , el obtenido por las identificaciones de los lados opuestos de un rectángulo es en cambio plano y no está métricamente inmerso en R 3 .

Estos dos tipos de toros son topológicamente idénticos ( en realidad , homeomorfos y también difeomorfos ), pero son métricamente distintos (no son isométricos ).

Aquí importan las nociones métricas. Esta es la razón por la que el toro sumergido tiene una simetría menos que el toro plano.

Las órbitas del ángulo θ son simetrías siempre que la métrica en el toro sea plana, ya que surge poniendo la métrica del plano en el toro con las identificaciones estándar solo para producir un toro plano. Sin embargo, esta métrica no es la que recibe el toro de la métrica de R 3 viéndolo como una superficie sumergida: la curvatura aparece aquí y θ no es una dirección métricamente invariante. En el toro plano, por ejemplo, todos los círculos violetas tienen la misma longitud, en el toro sumergido, su longitud es variable dependiendo de θ como se desprende de la figura...

El lagrangiano posee las simetrías correspondientes según la noción de toro que se considere.

En el caso límite de un toro de radio infinito R , eso es un cilindro, las dos métricas coinciden. Esta es la razón por la que no puede ver el problema simplemente mirando el cilindro.

Este es un ejemplo interesante donde la topología no es suficiente para arreglar la física.

Veo. Lo que es más interesante es que los dos casos límite R → ∞ (convertirse en un cilindro) y r → ∞ (para convertirse en una esfera) daría dos momentos conservados, pero en el medio el toro solo tiene uno. Así que hay una especie de "discontinuidad" aquí.
Sí, en ambos casos eliminas una asimetría, ¡bien!
Aunque tengo una nueva pregunta. En el caso equipotencial plano, además de pag X y pag y , L z también se conserva obviamente, pero es L z independiente de pag X y pag y ? Nota L z Se puede escribir como y pag X − X pag y .
¿Cuál es la pregunta? No entiendo bien. L z se conserva porque el potencial depende de z solo, pero no en X y y . Para que no dependa de la coordenada angular alrededor z al pasar a trabajar en coordenadas cilíndricas. El momento conjugado de ese ángulo es de hecho L z .
Olvidalo entonces. Descubrí que px, py y Lz son vectores Killing independientes en R2.
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