Termodinámica de no equilibrio en una imagen de Boltzmann

Hay muchas formas de estudiar los enfoques del equilibrio, lo cual es obvio ya que hay muchas formas de sacar un sistema del equilibrio. Entonces, realmente no hay una respuesta única a su pregunta. Sin embargo, se conocen varios resultados universales. Estos incluyen varios teoremas de fluctuación. El más famoso de los cuales generalmente se llama simplemente el teorema de fluctuación que relaciona la probabilidad de producción de entropía promediada en el tiempo,$\Sigma_t=A$tiempo extraordinario$t$a$\Sigma_t=-A$,

$$\frac{P(\Sigma_t=A)}{P(\Sigma_t=-A)}=e^{A t},$$ lo que muestra que la producción de entropía positiva es exponencialmente más probable que la producción de entropía negativa. Nótese que la segunda ley se sigue de este teorema. De ella también se puede derivar la relación fluctuación-disipación.

También existe, por ejemplo, el teorema de fluctuación de Crooks que relaciona el trabajo realizado en un sistema,$W$, durante una transformación de no equilibrio a la diferencia de energía libre,$\Delta F$, entre el estado final y el inicial del sistema,

$$\frac{P_{A \rightarrow B} (W)}{P_{A \leftarrow B}(- W)} = ~ \exp[\beta (W - \Delta F)],$$ dónde $\beta$, es la temperatura inversa, $A \rightarrow B$denota una transformación hacia adelante, y viceversa.

Se han realizado muchas investigaciones en esta área, por lo que para obtener más información, sugiero leer algunos artículos de revisión, como,

Esposito, M., Harbola, U. y Mukamel, S. (2009). Fluctuaciones de no equilibrio, teoremas de fluctuación y estadísticas de conteo en sistemas cuánticos. Reseñas de Física Moderna, 81 (4), 1665. ( arxiv )

y

Campisi, M., Hänggi, P. y Talkner, P. (2011). Coloquio: Relaciones de fluctuación cuántica: Fundamentos y aplicaciones. Reseñas de Modern Physics, 83 (3), 771. ( arxiv )

Hay varias ecuaciones maestras (p. ej., tipo Fokker-Planck, Boltzmann, Lindblad, etc.) en física que le darán más información que teoremas como estos, pero se derivan usando varias aproximaciones y/o suposiciones o son específicas del sistema. Entonces, como dije, no hay una respuesta universal a su pregunta.

EDITAR: Deducir la ley de Fourier es difícil. De hecho, hay un artículo de 2000 de F. Bonetto, JL Lebowitz y L. Rey-Bellet, Fourier's Law: a Challenge for Theorists ( arxiv ) que afirma en abstracto: "Sin embargo, en la actualidad no existe una derivación matemática rigurosa de la ley de Fourier ..."

Creo que la gente tiende a hacer que esto suene mucho más misterioso de lo que es. Boltzmann escribió una ecuación real (que lleva su nombre) que gobierna la distribución de partículas

$$\left(\partial_t +\vec{v}\cdot\vec{\nabla}_x +\vec{F}\cdot\vec{\nabla}_p\right)f_p(x,t) = C[f_p]$$ que, entre otras cosas, describe la aproximación al equilibrio. Como se explica en cualquier libro de texto sobre teoría cinética (ver, por ejemplo, Vol X de Landau), tomando momentos de esta ecuación y asumiendo distribuciones que varían lentamente se obtiene la ley de conducción de calor de Fourier, la ley de difusión de Fick, la ley de Newton-Navier-Stokes para vicioso fricción, etc. No solo eso, proporciona un método para calcular los coeficientes de transporte correspondientes y (para sistemas razonablemente diluidos) el resultado concuerda con el experimento.

La ecuación de Boltzmann no se basa en la aproximación clásica (también funciona para fluidos cuánticos, como explica Landau), pero requiere la existencia de cuasi-partículas bien definidas. Para los sistemas en los que la coherencia cuántica juega un papel, los análogos cuánticos de la ecuación de Boltzmann se pueden derivar de las funciones de Green que no están en equilibrio. En estos días, la ley de Fourier (etc.) también se puede derivar para fluidos muy fuertemente correlacionados utilizando la correspondencia AdS/CFT, lo que demuestra que las leyes de la hidrodinámica son, de hecho, aproximaciones universales de baja energía y bajo impulso.