Fluctuaciones en Fluctuación Teorema de disipación

En la derivación del teorema de Fluctuación-Disipación. Nos encontramos con una identidad.

⟨ d A ( t ) d B ( 0 ) ⟩ = ⟨ A ( t ) B ( 0 ) ⟩ − ⟨ A ⟩ ⟨ B ⟩
dónde
d A ( t ) = A ( t ) − ⟨ A ⟩
y
d B ( t ) = B ( t ) − ⟨ B ⟩

⟨ ⋅ ⟩ denota el promedio del conjunto.

¿Cómo se deriva esto?

Encontré la notación difícil de usar y escribí A t − A ¯ para A ( t ) − ⟨ A ⟩ etcétera. Luego amplié el lado izquierdo en cuatro términos, cada uno de los cuales necesita un promedio conjunto. Pero A ¯ y B ¯ son simplemente constantes. lo asumo A t ¯ = A ¯ y B 0 ¯ = B ¯ . Encontré que esto hizo el truco.
@PhilipWood Sí, tenemos que asumir las relaciones que mencionó en la última oración para obtener el resultado. Ese es el criterio de estacionariedad. Gracias !
Utilice \langle \rangleo \left< \right>para agrupar/soportes/promedios. Los Plain <>están compuestos como operadores y tienen (¡mucho!) demasiado espacio a su alrededor para tales usos. La segunda forma crecerá automáticamente con el tamaño del material contenido.

Respuestas (1)

Esta es solo la fórmula regular para la covarianza :

C o v ( X , y ) = ⟨ X y ⟩ − ⟨ X ⟩ ⟨ y ⟩
Aquí se hicieron dos suposiciones; (1) que el sistema tiene simetría traslacional en el tiempo, es decir, el correlador ⟨ A ( t 1 ) B ( t 2 ) ⟩ depende solo de la diferencia horaria t 1 − t 2 . Por lo tanto, podemos establecer arbitrariamente uno de ellos en el tiempo t = 0 y mantener toda la diferencia en el otro. (2) Se supone que el valor esperado de un solo operador es independiente del tiempo, es decir ⟨ A ( t ) ⟩ = ⟨ A ( 0 ) ⟩ ≡ ⟨ A ⟩ . Esta suposición se debe al tratamiento cercano al equilibrio.

Si está permitido, quiero una pequeña aclaración sobre la respuesta proporcionada por @Alexander, ya que beneficiará la discusión general. ¿Cómo se escribe la autocorrelación de variables con incrementos no estacionarios?
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