Teorema de disipación de fluctuación en el formalismo de Keldysh

A lo que te refieres es a la forma del teorema de disipación de fluctuación (FDT) que relaciona el factor de estructura dinámica con alguna susceptibilidad retardada. La ecuación que anotaste es válida para los sistemas bosónicos, en cuyo caso la RHS puede interpretarse como una susceptibilidad mientras que la LHS está relacionada con el factor de estructura dinámica a través de la relación$G^{<} = G^{K}+\frac{1}{2}\left(G^A-G^R\right)$. Esto lleva a$G^{<}(\epsilon) = n_{B}(\epsilon)\mbox{Im}\left[G^R(\epsilon)\right]$, dónde$n_{B}(\epsilon)$es la función de distribución de Bose.

Sin embargo, para un sistema fermiónico,$n_{B}(\epsilon)$debe ser reemplazado por$n_{F}(\epsilon)$- la función de distribución de Fermi - en la ecuación anterior. Esto da una FDT fermiónica . La familiar FDT bosónica se puede recuperar en este caso considerando las excitaciones de dos partículas, que se pueden expresar como el producto de las excitaciones de una sola partícula usando el teorema de Wick.

$\Pi^{R}(t,t^{'}) = G^{R}(t,t^{'})G^{K}(t^{'},t) + G^{K}(t,t^{'})G^{A}(t^{'},t)$es la susceptibilidad retardada , y de manera similar también se puede escribir una expresión para$\Pi^{<}$en términos de$G^{R,A,K}$

En equilibrio, se puede demostrar que:$\Pi^{<}(\epsilon) = n_{B}(\epsilon)\mbox{Im}\left[\Pi^{R}(\epsilon)\right]$. Esta es la forma familiar de FDT. Encontrará una discusión detallada en el libro de Kamenev , cap. 9.

Respuesta lineal y funciones de Green
En la teoría de la respuesta lineal, si se nos da el hamiltoniano,$H=H_0+\lambda (t)X$, la respuesta de la variable$Y(t)$es dado por

$$\langle Y^h(t)\rangle = \langle Y(t)\rangle+ \int_{-\infty}^{+\infty} dt_1\left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)\lambda(t_1),$$ donde la función de respuesta es solo una función retardada para operadores$Y(t), X(t_1)$(los operadores sin subíndice tienen la evolución temporal regida únicamente por$H_0$): $$G_{YX}^r(t,t_1)= \left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)=\left[G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1)\right]\theta(t-t_1).$$ La susceptibilidad es solo la transformada de Fourier de esta función, mientras que la función de Green avanzada se define como $$G_{YX}^a(t,t_1)= \left\langle\frac{i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)=\left[G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1)\right]\theta(t_1-t),$$ de modo que $$G_{YX}^r(t,t_1) - G_{YX}^a(t,t_1) = G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1) = \left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle$$ Tenga en cuenta también que el espacio de frecuencias (es decir, para transformadas de Fourier): $$G_{YX}^r(\omega) - G_{YX}^a(\omega) = G_{YX}^>(\omega) - G_{YX}^<(\omega),$$ como una simple consecuencia de las definiciones.

Representación de Lehmann
En la base propia del hamiltoniano imperturbable,$H_0|n\rangle=E_n|n\rangle$la función de Green mayor tiene la siguiente representación

$$G_{YX}^>(t,t_1)=\frac{-i}{\hbar}\left\langle Y(t)X(t_1)\right\rangle= \frac{-i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_n}e^{-i(E_m-E_n)(t-t_1)/\hbar}Y_{nm}X_{mn},\\ G_{YX}^>(\omega) = \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_n}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)$$ Similarmente $$G_{YX}^<(\omega) = \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_m}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)=\\ \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta (E_n+\hbar\omega)}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)=e^{-\beta\hbar\omega}G_{YX}^>(\omega)$$ Así tenemos $$G_{YX}^>(\omega)\pm G_{YX}^<(\omega)=\left(1\pm e^{-\beta\hbar\omega}\right)G_{YX}^>(\omega)\Rightarrow\\ G_{YX}^>(\omega)+ G_{YX}^<(\omega)=\frac{1+e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\left[G_{YX}^>(\omega)- G_{YX}^<(\omega)\right]=\\ \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\left[G_{YX}^>(\omega)- G_{YX}^<(\omega)\right].$$ Reconociendo la parte izquierda de esta expresión como la definición de la función Keldysh Green-s, tenemos $$G_{YX}^K(\omega)= \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\left[G_{YX}^r(\omega)- G_{YX}^a(\omega)\right]$$

¿Es esta la FDT?

• Tenga en cuenta que la función de Keldysh que definimos está dada por $$G_{YX}^K(t,t_1) - G_{YX}^a(t,t_1) = \frac{-2i}{\hbar}\left\langle\frac{1}{2}\{Y(t),X(t_1)\}\right\rangle,$$ es decir, es simplemente la función de correlación (hasta un factor), cuya transformada de Fourier es la intensidad del ruido. Así tenemos el enunciado del teorema de disipación de fluctuación.
• Esta relación también se mantendrá, si$X$y$Y$son operadores de creación y aniquilación, en los que las funciones de Green toman la forma más familiar. Sin embargo, su interpretación como FDT se vuelve menos fiable, a menos que introduzcamos susceptibilidades generalizadas. Más convencionalmente, la diferencia entre las funciones de Green avanzada y retardada corresponde a la densidad de estados, mientras que la función de Keldysh es la función de distribución de partículas.
• Aunque la relación se mantiene más allá de la respuesta lineal, ¡todavía es una declaración sobre los coeficientes de respuesta lineal! Esto está en contraposición a la FDT no lineal, que por lo general implica declaraciones sobre la respuesta de orden superior (orden superior en$\lambda(t)$).

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Respuesta anterior
La diferencia de las funciones de Green retrasada y avanzada en el lado derecho de esta ecuación es en realidad la densidad de estados, es decir, lo que podría llamarse un factor de estructura , mientras que$G^K$prueba las posibilidades de agregar/eliminar una partícula, es decir, la susceptibilidad .

Lo que personalmente me hace escéptico sobre la interpretación de esta ecuación es que formularla en términos del formalismo de Keldysh da una ilusión superficial de que la FDT se puede aplicar fuera del equilibrio (o al menos que tiene una forma tan simple fuera del equilibrio), mientras que este no es el caso. caso.