Autocorrelación y varianza: ¿se puede escribir el teorema de disipación de fluctuación en términos de fluctuaciones?

Question

Autocorrelación y varianza: ¿se puede escribir el teorema de disipación de fluctuación en términos de fluctuaciones?

Física
covarianza
termodinámica
mecánica estadística
fluctuación-disipación

julián barbaud

Estoy considerando el teorema en un contexto de mecánica estadística, pero supongo que la pregunta podría extenderse a otros campos donde también se aplica.

Si tenemos un sistema con propiedad $A$ y aplicar una pequeña perturbación $f_0A$ a su hamiltoniano, el teorema de disipación-fluctuación relaciona el decaimiento del promedio $\langle A(t)\rangle$ a su valor de equilibrio $\langle A\rangle_0$ como tal:

⟨ Δ A (t) ⟩ = β F_{0} R_{A} (t)

$\langle \Delta A(t)\rangle=\beta f_0 R_A(t)$ Dónde :

Δ A (t) = A (t) - ⟨ A ⟩_{0}

$\Delta A(t)=A(t)-\langle A\rangle_0$ es la desviación de A del equilibrio,

β = 1 / (k_{b} T)

$\beta=1/(k_bT)$ , y

R_{A} (t)

$R_A(t)$ es la función de autocorrelación de A definida como

R_{A} (t) = ⟨ A (τ + t) A (τ) ⟩

$R_A(t)=\langle A(\tau+t)A(\tau)\rangle$ , donde cualquiera

τ

$\tau$ se puede elegir

El teorema toma su nombre del hecho de que la autocorrelación está relacionada con las fluctuaciones. Ahora, aunque puedo pensar en algunos ejemplos de vínculos entre algunas autocorrelaciones y algunas fluctuaciones, todavía me pregunto: ¿existe una relación general entre la autocorrelación de A y sus fluctuaciones/varianza? ¿Existe una relación general en la forma $R_A(t)=f(\mathrm{var}(A),t)$ ? ¿Puedo reescribir el teorema de disipación-fluctuación con fluctuaciones/varianzas reales , en lugar de autocorrelaciones?

Si suponemos que el promedio de $A$ es 0 por simplicidad, entonces $\mathrm{var}(A)=\langle A^2\rangle$ , y:

R_{A} (t = 0) = ⟨ A^{2} (τ) ⟩ = v a r (A)

$R_A(t=0)=\langle A^2(\tau)\rangle=\mathrm{var}(A)$ Pero eso no me dice nada sobre tiempos posteriores t.

Alternativamente, si defino $I(t)$ ser la primitiva de tiempo de A: $I(t)= \int_t A(t')dt'$ , entonces puedo escribir:

⟨ I^{2} ⟩ = ⟨ \int_{t} A (t^{'}) d t^{'} \int_{t} A (t^{″}) d t^{″} ⟩ = \int_{t} \int_{t} ⟨ A (t^{'}) A (t^{″}) ⟩ d t^{'} d t^{″} = \int_{t} \int_{t} R_{A} (t^{'} - t^{″}) d t^{'} d t^{″},

$\langle I^2\rangle=\left\langle \int_t A(t’)dt’ \int_t A(t’’)dt’’\right\rangle=\int_t \int_t \langle A(t’)A(t’’)\rangle dt’dt’’=\int_t \int_t R_A(t’-t’’)dt'dt'',$

que es una especie de conexión de la autocorrelación de $A$ a la varianza de $I$ , pero eso es bastante insatisfactorio...

¿No se puede escribir literalmente el teorema de disipación-fluctuación en términos de fluctuaciones?

EDITAR: un ejemplo de lo que idealmente me gustaría formular si es posible:

Si tengo una expresión para las fluctuaciones térmicas de, digamos, mi volumen sobre el equilibrio:

⟨ (Δ V)^{2} ⟩ = k_{b} T V x_{T}

$\langle(\Delta V)^2 \rangle=k_b TV \chi_T$

¿Puedo usar eso para predecir la tasa de decaimiento de las perturbaciones de volumen pequeño? Requeriría reformular la expresión anterior del teorema para incluir esa información que cuantifica las fluctuaciones en mi sistema

Respuestas (2)

Autocorrelación y varianza: ¿se puede escribir el teorema de disipación de fluctuación en términos de fluctuaciones?

giorgiop · Answer 1

Como usted notó, $var(A)=\langle A^2(\tau) \rangle = R_A(t=0)$ , que es independiente del tiempo para un sistema en equilibrio. No permite acceder a la variación temporal de las fluctuaciones de $A(t)$ . Aún así, tal variación de tiempo existe. Por lo tanto, la forma de obtener la información requerida es precisamente el uso de la función de autocorrelación temporal de A: $R_A(t)=\langle A(t) A(0) \rangle$ .

Dando por sentada la derivación matemática del teorema de fluctuación-disipación

\begin{matrix} (1) & < Δ A (t) >= β F_{0} R_{A} (t), \end{matrix}

$<\Delta A(t)>=\beta f_0 R_A(t), \tag{1}$ una descripción conceptual de su contenido puede ayudar a comprender la razón de la presencia de la función de autocorrelación.

Ecuación $(1)$ dice que la variación decreciente en el tiempo de una perturbación inducida externamente del observable $A$ (generalmente descrito como debido a efectos disipativos ) es proporcional a la correlación de fluctuaciones de $A$ En Diferentes Momentos. Esto se debe básicamente a la imposibilidad práctica, en el orden lineal, de distinguir el decaimiento de un cambio inducido externamente de $A$ después del final de la perturbación externa, del decaimiento de una fluctuación espontánea en el sistema de equilibrio. Este último decaimiento puede medirse proyectando la variable en el tiempo $t$ sobre el valor inicial $A(0)$ . En otras palabras, la función de autocorrelación temporal es la forma natural (e inevitable) de extraer el decaimiento intrínseco del tiempo de una fluctuación temporal de un observable. $A$ en equilibrio.

Gracias por su respuesta. Mi pregunta era si podíamos expresar la autocorrelación en términos de varianza para reformular el teorema con varianzas. Entonces, su conclusión es que no existe una forma general de relacionar la autocorrelación con la forma más directa de cuantificar las fluctuaciones (varianza), porque la autocorrelación en realidad contiene más información que la varianza. ¿Es porque la varianza contiene información sobre fluctuaciones estadísticas no resueltas en el tiempo, mientras que la autocorrelación tiene una resolución en el tiempo?
He editado mi pregunta para dar un ejemplo de lo que tengo en mente, en caso de que ayude a ilustrarlo con mayor precisión.
@BarbaudJulien Sobre su primer comentario, sí, la función de autocorrelación temporal contiene más información que su $t=0$ valor (la varianza de $A$ . Ahora bien, si estamos interesados en el comportamiento temporal de las fluctuaciones, no hay alternativa a $R_A(t)$ .

Andrés · Answer 2

Puede pensar en la función de autocorrelación como una representación de la matriz de varianza-covarianza para la cantidad $A$ En Diferentes Momentos.

Si discretizamos el tiempo, $t_i=t_1, t_2, \cdots t_N$ , entonces la función de autocorrelación es

⟨ A (t_{i}) A (t_{j}) ⟩ = C_{i j}

$\begin{equation} \langle A(t_i) A(t_j) \rangle = C_{ij} \end{equation}$ dónde

C_{i j}

$C_{ij}$ es la matriz de varianza-covarianza para el conjunto de variables

A (t_{i})

$A(t_i)$ .

Para sistemas en equilibrio, podemos suponer que $A$ es estacionario , es decir, en el caso continuo,

⟨ A (t) A (t^{'}) ⟩ = R (t - t^{'})

$\begin{equation} \langle A(t) A(t') \rangle = R(t-t') \end{equation}$ En otras palabras: la correlación sólo depende de la diferencia de tiempo entre

t

$t$ y

t^{'}

$t'$ y no en sus valores absolutos. (Para los sistemas que no están en equilibrio, esto no tiene por qué ser cierto, por ejemplo, puede haber transitorios después de patear el sistema en un momento determinado).

En el caso discreto, esto implica que la matriz de varianzas-covarianzas es una matriz de Toeplitz , lo que significa que los elementos de la matriz $C_{ij}$ sólo depende de qué tan lejos esté el elemento de la matriz de la diagonal (todas las $C_{ij}$ coeficientes con el mismo valor de $i-j$ son lo mismo).

El punto es que la función de autocorrelación codifica la varianza de $A$ (así como la covarianza entre $A$ medida en dos tiempos separados por un intervalo de tiempo $\Delta t$ ).

Autocorrelación y varianza: ¿se puede escribir el teorema de disipación de fluctuación en términos de fluctuaciones?

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