Termodinámica: conjunto de resorte de pistón

¿Cómo modelaría el comportamiento transitorio del sistema? ¿El desplazamiento del resorte con el tiempo, así como el cambio de presión con el tiempo?

asumir en$t=0$el volumen es$V_0$a presión$p_0$y posición del pistón$y=0$. La presión externa es$p_a$, sección transversal del pistón$A$y el peso del pistón es$m$. Ignoramos toda fricción. Ahora necesitamos una ecuación de movimiento newtoniana.

Fuerza neta en$y$-dirección, en cualquier momento:

$$F_y=pA-p_aA-ky$$

Segunda ley de Newton:

$$F_y=ma_y$$ Ley de los gases ideales isotérmicos:

$$pV=p_0V_0$$

Durante la expansión:

$$p=p_0\frac{V_0}{V}$$ $$V=V_0+yA$$ $$p=p_0\frac{V_0}{V_0+yA}$$ Ecuación de movimiento:

$$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y$$ Cadena de reglas:

$$a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{dv_y}{dy}\frac{dy}{dt}=v_y\frac{dv_y}{dy}$$ Entonces tenemos:

$$mv_ydv_y=\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$$ Integrar entre límites relevantes:

$$\int_0^{v_y}mv_ydv_y=\int_0^y\Big(p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky\Big)dy$$ $$\frac12 mv_y^2=p_0V_0A\int_0^y\frac{dy}{V_0+Ay}-p_aAy-\frac12 ky^2$$

$$K(y)=\frac12 mv_y^2=p_0V_0\ln\frac{V_0+Ay}{V_0}-p_aAy-\frac12 ky^2$$

Esta es la energía cinética$K(y)$después del desplazamiento$y$y la velocidad del pistón se puede calcular a partir de ella:

$$v_y=\sqrt{\frac{2K(y)}{m}}$$

Con$v_y=\frac{dy}{dt}$una expresión para$y(t)$podría intentarse pero la expresión:

$$t=\int_0^t\frac{dy}{v_y}$$

... no es analíticamente integrable. Así que no hay expresión para$p(t)$se puede encontrar, al menos no analíticamente.

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Actualizar:

Actualizaré la pregunta un poco. Accidentalmente omití parte de la pregunta. Me disculpo por eso. La pregunta en el manual establece que el gas se calienta reversiblemente a 100 C.

Suponga que la presión inicial es$p_0$en$V_0$y$T_0$, entonces por la IGL:

$$p_0V_0=nRT_0$$ Después de calentar a $T$el gas se ha expandido y ahora está a presión $p$: $$p(V_0+yA)=nRT$$ Entonces: $$\frac{p(V_0+yA)}{p_0V_0}=\frac{T}{T_1}$$ Y: $$p=\frac{p_0V_0}{V_0+yA}\frac{T}{T_1}$$ Ahora podríamos insertar esta expresión en la ecuación de movimiento, pero desafortunadamente no tenemos una expresión para $T(y)$. Esto se debe a que no se especifica el tipo de expansión: adiabática o politrópica, por ejemplo. Obviamente, para el caso isotérmico se reduce a la solución anterior.

Entonces, la definición del problema es suficiente para la primera parte de la pregunta, pero no para la segunda parte.

Tengo una posible dirección a seguir según la respuesta de Gert. Gert dijo lo siguiente:

Ecuación de movimiento:

$$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=ma_y$$

¿Podemos cambiar la ecuación de Gert a la siguiente y encontrar una solución para$y(t)?$

$$p_0\frac{AV_0}{V_0+yA}-p_aA-ky=m\frac{d^2y}{dt^2}$$

O:

$$m\frac{d^2y}{dt^2} + ky - p_0\frac{AV_0}{V_0+yA} + p_aA =0$$

si podemos encontrar$y(t)$de esa ecuación diferencial, entonces podemos encontrar$p(t)$de esto:

$$p(t)=p_0\frac{V_0}{V_0+y(t)A}$$

Si el pistón oscila, entonces el proceso no puede ser reversible. La energía cinética ciertamente se disiparía con el tiempo por esfuerzos viscosos (un efecto irreversible) hasta que el sistema alcanzara un nuevo estado estacionario. Y, ¿qué pasó con los cambios en la energía interna U del gas a medida que se expande o comprime? Eso ciertamente se omite en estos análisis. No hay nada en el enunciado del problema que diga que la expansión reversible se realiza isotérmicamente ¿Y si la masa del pistón es despreciable? Dado que nadie respondió a mis comentarios sobre la publicación original, es difícil decir más en este momento.

ESTA ES UNA EDICIÓN DE LA RESPUESTA, UNA VEZ QUE SE PUSO MÁS INFORMACIÓN DISPONIBLE.

El balance de fuerzas sobre el pistón es:

$$PA=P_{atm}A+kx$$ donde x se toma como cero en el tiempo cero. El cambio de volumen del gas está dado por: $$V-V_0=Ax$$ Entonces, la combinación de estas ecuaciones da: $$P=P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)$$ Por lo tanto, la velocidad a la que se realiza trabajo en los alrededores es $$\dot{W}=\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$$ La tasa de cambio de la energía interna del gas está dada por: $$\frac{dU}{dt}=nC_v\frac{dT}{dt}$$ Entonces, de la primera ley de la termodinámica, $$nC_v\frac{dT}{dt}=\dot{Q}-\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]\frac{dV}{dt}$$ Si integramos esto con respecto al tiempo, obtenemos: $$nC_v(T-T_0)=\int_0^t{\dot{Q}dt}-P_{atm}(V-V_0)-\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\tag{1}$$ dónde $$T=\frac{PV}{nR}=\frac{\left[P_{atm}+\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$$ y $$T_0=\frac{P_{atm}V_0}{nR}$$ Entonces, $$T-T_0=\frac{P_{atm}(V-V_0)}{nR}+\frac{\left[\frac{k}{A^2}(V-V_0)\right]V}{nR}$$ Si sustituyo este resultado por la diferencia de temperatura en la ecuación. 1 para obtener una ecuación para el volumen únicamente en términos del calor acumulado agregado, obtengo: $$\gamma \left[P_{atm}(V-V_0)+\frac{k}{A^2}\frac{(V-V_0)^2}{2}\right]+\frac{k}{A^2}\frac{V_2-V_0^2}{2}=(\gamma -1)Q$$ donde Q es la cantidad acumulada de calor agregado a través del tiempo t.