Termodinámica básica: proceso adiabático cuasiestático

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Termodinámica básica: proceso adiabático cuasiestático

seb

Estoy haciendo los ejercicios de un libro de Termodinámica, solo para repasar y desarrollar mi intuición. Ahora mismo, estoy trabajando en:

Demuestre que para un proceso adiabático cuasiestático en un gas perfecto, con calores específicos constantes:

$PAG V^{γ} = [constante]$ $PV^\gamma = \left[\text{constant}\right]$

con $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$

dónde $P$ es presión, $V$ es volumen y $C_V$ es la capacidad calorífica a volumen constante.

No estoy buscando la respuesta, solo una pista (estoy atascado y quiero encontrar la solución yo mismo).

Así que estos son mis pensamientos:

gas perfecto significa: $PV = RT$ , ( $R$ es la constante universal de los gases)
adiabático significa: $\mathrm{d}Q = 0$ , ( $Q$ para el calor)
como no hay intercambio de calor, el proceso es reversible
medios reversibles: $\mathrm{d}W = -P \, \mathrm{d}V$ , ( $W$ es para el trabajo)
La capacidad calorífica se define como $C_\text{V} = \left( \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_V$ , respectivamente $C_\text{P} = \left( \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_\text{P}$

Si dibujo un $PV$ diagrama para esta situación, se ve así:
$\hspace{175px}$ .

Ahora quiero mostrar que $PV^\gamma=\left[\text{const}\right]$ al ir de $\text{State 1}$ a $\text{State 2}$ en el $PV$ diagrama.

He empezado así:

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} PAG d V = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{R T}{V} d V = R T en (\frac{V_{2}}{V_{2}})

$W ~=~ -\int_{V_1}^{V_2}P \, \mathrm{d}V ~=~ -\int_{V_1}^{V_2} \frac{RT}{V} \mathrm{d}V ~=~ RT \ln{\left(\frac{V_2}{V_2}\right)}$

Sin embargo, esto me lleva en la dirección equivocada. pensé en usar $R = C_P - C_V$ aquí, pero no parece funcionar. ¿Alguna sugerencia?

Por favor solo dame una pista, no la solución.

Jinawee

tienes que usar

d U = c_{V} d T

$dU=c_V dT$ . La respuesta se puede encontrar en cualquier libro.

gj255

NB: "dado que no hay intercambio de calor, el proceso es reversible". Esto no es cierto que yo sepa. La mezcla de diferentes sustancias es irreversible, pero no corresponde al intercambio de calor. (Por otro lado, existen muchos procesos reversibles que involucran intercambio de calor). Cuando hablamos de expansiones/compresiones adiabáticas, generalmente nos referimos a una expansión que es a) reversible yb) no implica intercambio de calor. El punto clave es que esto último por sí solo no implica lo primero.

ayuda fisica

Tienes que igualar la expresión para

d E

$\mathrm{d}E$ dada por la primera ley de la termodinámica con la expresión que obtienes si aíslas

d E

$\mathrm{d}E$ de

C_{V} = {(\frac{\partial E}{\partial T})}_{V}

$C_V=\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_V$ . Luego integre ambos lados. Con esto deberías poder llegar a la respuesta final. Una explicación más detallada se puede encontrar aquí . Tenga en cuenta que las soluciones en el enlace también las hice yo, y Studydrive es un sitio web de acceso gratuito.

xasthor

Intente aplicar la primera ley de la termodinámica para obtener alguna expresión con

C_{p}

$C_p$ y/o

C_{v}

$C_v$ y luego use la definición de gamma y la ecuación de gas ideal.

Respuestas (3)

Termodinámica básica: proceso adiabático cuasiestático

tienes que usar $dU=c_V dT$ . La respuesta se puede encontrar en cualquier libro.
NB: "dado que no hay intercambio de calor, el proceso es reversible". Esto no es cierto que yo sepa. La mezcla de diferentes sustancias es irreversible, pero no corresponde al intercambio de calor. (Por otro lado, existen muchos procesos reversibles que involucran intercambio de calor). Cuando hablamos de expansiones/compresiones adiabáticas, generalmente nos referimos a una expansión que es a) reversible yb) no implica intercambio de calor. El punto clave es que esto último por sí solo no implica lo primero.
Tienes que igualar la expresión para $\mathrm{d}E$ dada por la primera ley de la termodinámica con la expresión que obtienes si aíslas $\mathrm{d}E$ de $C_V=\left(\frac{\partial E}{\partial T}\right)_V$ . Luego integre ambos lados. Con esto deberías poder llegar a la respuesta final. Una explicación más detallada se puede encontrar aquí . Tenga en cuenta que las soluciones en el enlace también las hice yo, y Studydrive es un sitio web de acceso gratuito.
Intente aplicar la primera ley de la termodinámica para obtener alguna expresión con $C_p$ y/o $C_v$ y luego use la definición de gamma y la ecuación de gas ideal.

Mitchell · Answer 1

De la primera ley de la termodinámica se tiene:

Δ tu = q + w

$\Delta U = q + w$

Como $q$ es cero,

d tu = - PAG d V

$\mathrm{d}U = -P \, \mathrm{d}V$

Ahora pon $\mathrm{d}U = C_v \, \mathrm{d}T$ (Capacidad calorífica molar a volumen constante).

Por lo tanto,

C_{v} d T = - PAG d V

$C_v \, \mathrm{d}T = -P \, \mathrm{d}V$

Usando la ecuación de los gases ideales, sustituya $P$ por $\frac{RT}{V}$ .

- \frac{R T}{V} d V = C_{v} d T

$-\frac{RT}{V} \mathrm{d}V = C_v \, \mathrm{d}T$

Integrando la ecuación se obtiene

\begin{aligned} \int_{V_{1}}^{V_{2}} - \frac{R T}{V} d V & = \int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{v} d T \\ \frac{R T}{V} en (\frac{V_{1}}{V_{2}}) & = C_{v} (T_{2} - T_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{V_1}^{V_2} -\frac{RT}{V} \mathrm{d}V & = \int_{T_1}^{T_2} C_v \, \mathrm{d}T \\[10px] \frac{RT}{V} \ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right) & = C_v \left(T_2 - T_1 \right) \end{align}$

Solo puede integrar ecuaciones diferenciales. $\Delta$ significa un cambio finito mientras que $d$ significa un cambio infinitamente pequeño (cambio diferencial). Una ecuación que contiene $\Delta$ no se puede integrar.

Undavairs rojos · Answer 2

La condición matemática que te falta es trabajo = -cambio en la energía interna (que mencionaste como dQ = 0).

dU se escribe idealmente como n*Cv(dT).

tome n = 1 (para simplificar), iguale PdV a -dU, traiga R = Cv (gamma - 1) (lo mismo que mencionó) e intégrelo. Será de una forma logarítmica con una tonelada de constantes.

Espero que esto ayude. ¡Buena suerte!

Bob D. · Answer 3

Antes de la pista, algunas cuestiones conceptuales:

como no hay intercambio de calor, el proceso es reversible

No necesariamente. Un proceso adiabático es irreversible si (1) no se lleva a cabo con extrema lentitud (casi estática) o (2) existe fricción mecánica. Para que sea reversible debe realizarse de forma casi estática y sin fricción.

medios reversibles: $\mathrm{d}W = -P \, \mathrm{d}V$ , ( $W$ es para el trabajo)

No necesariamente. Sólo si el sistema está siempre en equilibrio mecánico con el entorno de modo que el $P$ es tanto el gas como la presión externa. Eso requiere que el proceso se lleve a cabo lentamente. De lo contrario $P$ es la presión externa solamente y el trabajo es irreversible.

La capacidad calorífica se define como $C_\text{V} = \left( > \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_V$ , respectivamente $C_\text{P} = > \left( \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T} \right)_\text{P}$

Estas no son las definiciones de las capacidades caloríficas. Las capacidades caloríficas específicas se definen en términos de la energía interna específica y la entalpía, como sigue:

C_{v} = (\frac{\partial tu}{\partial T})_{v}

$c_{v}=\biggl (\frac{\partial u}{\partial T}\biggr)_v$

C_{pag} = (\frac{\partial h}{\partial T})_{PAG}

$c_{p}=\biggl (\frac{\partial h}{\partial T}\biggr)_P$

Ahora, la pista. Su ecuación para un proceso adiabático reversible es para un gas ideal. Para un gas ideal, y solo un gas ideal $du=c_{v}dT$ independientemente del proceso. Use esto junto con la ecuación del gas ideal, la ecuación del trabajo reversible y la primera ley, y podrá derivar la ecuación.

Espero que esto ayude.

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Bob D.

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