Cambio de volumen adiabático de un proceso de pensamiento de gas ideal

Estoy luchando por tratar de resolver el siguiente problema, intentando solo (a) y la primera parte de (b) para este ejercicio:

Durante un cambio de volumen adiabático reversible de un gas ideal,$PV^{\gamma}$permanece constante, donde$\gamma$es la relación de la capacidad calorífica a volumen constante a la de presión constante. es decir$\gamma = C_P/C_V$. Un mol de un gas ideal, inicialmente a$300^{\circ}K$y la presión atmosférica, se comprime a la mitad de su volumen inicial.

(a) Deduzca una expresión general para el trabajo realizado sobre el gas en términos de los volúmenes inicial y final y otras variables necesarias. Recuerda que tendrás que encontrar una expresión para$P$como una función de$V$, y que esta expresión implicará$P_1$y$V_1$.

(b) Use su expresión para calcular la cantidad de trabajo realizado por un gas ideal monoatómico y (b) un gas diatómico, en el que el movimiento vibratorio está completamente congelado.

Aquí está mi proceso de pensamiento inicial:

• Este es un proceso adiabático, por lo que$PV^{\gamma} = K$dónde$K$es una constante
• Este gas es monoatómico, por lo que$\gamma = 1 + 2/3$.
• No se nos da un volumen, sino una presión y una temperatura, lo que significa que el volumen se puede deducir de la ley de los gases ideales.
• Este es un cambio de volumen adiabático, por lo que el trabajo se puede encontrar dada la siguiente integral:

$$W = - \int_{V_1}^{V_2} PdV$$

• Desde$V_2 = 1/2 V_1$, podemos reemplazar eso por$V_2$y nota$P=\frac{K}{V^\gamma}$. Así queremos resolver:

$$W = - K\int_{V_1}^{0.5V_1} \frac{dV}{V^\gamma}$$

Esto debería reducirse a la siguiente ecuación:

$$W = -K \left(\frac{0.5V_1^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right)$$

Con$V_1 = \frac{nRT}{P}$con$P = 101325 \ Pa$,$T = 300 \ K$, y$n = 1$lunar,$V = 0.0246 m^3$. Esto hace$V_2 = 0.0123 m^3$.$K = PV^{\gamma}, \therefore K = 210.83$.

Después de tirar todo ese lío en una calculadora, mi valor final es$1869.405\ J$apenas.

Algunas preguntas mías:

• ¿Por qué no podemos usar$P = \frac{nRT}{V}$como nuestra función de$V$para la integral en lugar de$P=\frac{K}{V^\gamma}$?

• Mi respuesta no debe ser negativa, lo cual debe deberse a$0.5 V_1 - V_1 = -0.5 V_1$, pero no veo cómo esa lógica estaba equivocada. ¿Cuál es el problema allí?

• ¿Hice algo risiblemente malo aquí, y si es así, dónde? Siento que hice algo mal.