Fórmula para la capacidad calorífica específica molar en proceso politrópico

Eso$C$es el calor específico para el ciclo dado, es decir

$$dQ=nCdT$$ Esto es para$n$moles de gas. (no el$n$dijiste en la pregunta)

asumiré

$$PV^z=\text{constant}$$

$$nCdT=dU+PdV$$ $$\int nCdT=\int nC_vdT+\int PdV$$

$$nC\Delta T=nC_v \Delta T+\int \frac{PV^z}{V^z}dV$$

Como el numerador es una constante, ¡sácalo!

También tenga en cuenta que

$$P_iV_i^z=P_fV_f^z$$

$i = \text{initial}$

$f=\text{final}$

Centrándonos solo en la integral,

$$PV^z\int V^{-z}dV$$

$$PV^z\left[\frac{V^{-z+1}}{-z+1}\right]^{V_f}_{V_i}$$

Tenga en cuenta que el$PV^z$es lo mismo para el paso inicial y final. Entonces, lo multiplicamos por dentro y hacemos este ingenioso trabajo:

$$-\frac{P_iV_i^zV_i^{-z+1}}{-z+1}+\frac{P_fV_f^zV_f^{-z+1}}{-z+1}$$

$$-\frac{P_iV_i}{-z+1}+\frac{P_fV_f}{-z+1}$$

Tenga en cuenta que$PV=nRT$

$$\frac{nR\Delta T}{-z+1}$$

donde$\Delta T=T_f-T_i$

Ecuación final:

$$nC\Delta T=nC_v \Delta T+\frac{nR\Delta T}{-z+1}$$

$$C=C_v+\frac{R}{1-z}$$

Esto te traerá la ecuación original, puedes encontrar$C_v$por

$$C_p/C_v=\gamma$$

$$C_p-C_v=R$$

Usando$C_p=\gamma C_v$,

$$C_v\left(\gamma-1\right)=R$$

$$C_v=\frac{R}{\gamma-1}$$

Sustituyendo en la ecuación original,

$$C=\frac{R}{\gamma-1}+\frac{R}{1-z}$$

Tal vez valga la pena derivarlo de la definición diferencial

$$dQ = PdV+ dU \tag{1}$$

Recordando eso$\frac{dQ}{ndT}=C$,

$$C= \frac{1}{n} ( P \frac{dV}{dT} + \frac{dU}{dT}) \tag{2}$$

A partir de la ley de los gases ideales y la ecuación politrópica podemos establecer

$$(PV^{\gamma} )V^{1- \gamma} = nRT \tag{3}$$

Teniendo en cuenta los diferenciales y teniendo en cuenta que$PV^{\gamma}$es constante:

$$PV^{\gamma} (1- \gamma) V^{-\gamma} dV = nRdT$$

Por lo tanto,

$$\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P(1- \gamma) } \tag{4}$$

recordando también que para un gas ideal,$dU= nC_v dT$y conectando todo en (2):

$$C= \frac{R}{(1- \gamma)} + C_v$$

cual es la expresion requerida

También podemos derivar el resultado sin integración:

$PV^n=constant$Se puede escribir como$TV^{n-1}=constant$

$$nCdT=dU+PdV$$ Dividiendo esta ecuación por$dT$, diferenciando$TV^{n-1} = constant$con respecto a la temperatura, y el taponamiento${dV/dT}$en la ecuación dará el resultado deseado.