Problema de tarea térmica (HW)

No creo que esta pregunta se pueda resolver con los conocimientos de termodinámica que he aprendido hasta ahora, pero que alguien me corrija si me equivoco:

Se utilizará un tanque de 0,2 m³ que contiene helio a 15 bar y 22°C para suministrar 4,5 moles por minuto de helio a presión atmosférica mediante una válvula de estrangulamiento adiabático controlado.

Si el tanque está bien aislado, ¿cuál será la presión en el tanque y la temperatura de la corriente de gas que sale de la válvula de estrangulamiento en cualquier momento posterior?$t$?

Puede suponer que el helio es un gas ideal con$C^{*}_{P} = 22 \text{ J / (mol K)}$, y que no hay transferencia de calor entre el tanque y el gas.

Creo que es más ilustrativo comenzar con el balance de entropía:

$$\frac{dS}{dt} = \sum_{k=1}^{K} \dot{N}_{k} \underline{S_k} + \frac{\dot{Q}}{T} + \dot{S}_{gen}$$

No$\dot{Q}$ya que es adiabático, y no$\dot{S}_{gen}$ya que supongo que estamos asumiendo que es reversible. Un flujo de salida con$\dot{N} = -4.5 \text{ mol/min}$da

$$\frac{dS}{dt} = \dot{N}\underline{S}(t) = \dot{N}\frac{S(t)}{N(t)} = \frac{\dot{N}S(t)}{N_0 + \dot{N}t}$$

Resolviendo esto da

$$S(t) = S_0 + \frac{S_0 \dot{N}}{N_0}t$$

Para un sistema cerrado, mi libro deriva relaciones entre cambios de entropía y dos cambios de volumen, presión o temperatura a través de la primera ley:

$$d\underline{U} = Td\underline{S} - \underline{P}d\underline{V}$$

$$d\left(\frac{U}{N}\right) = Td\left(\frac{S}{N}\right) - \frac{P}{N}d\left(\frac{V}{N}\right)$$

A partir de aquí se integra esto para llegar a algo como

$$\underline{S}(T_2, \underline{V}_2) - \underline{S}(T_1, \underline{V}_1) = C_{v}^{*}\ \text{ln}\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + R\ \text{ln}\left(\frac{\underline{V}_2}{\underline{V}_1}\right)$$

Sin embargo, esto es para constante$N$! Con el tanque de helio, es un sistema abierto y$N$no es constante! Así que no veo cómo puedo seguir adelante. Sin un balance de entropía, los balances de masa y energía por sí solos no son suficientes para resolver el sistema.