Expansión adiabática en gas de van der Waals [cerrado]

Dado un gas de Van der Waals con ecuación de estado:

$$\left( P+\frac{N^2 a}{V^2}\right)\left( V-Nb \right)=NkT,$$ Demostrar que la ecuación de un proceso adiabático es: $$\left( V-Nb\right)T^{C_V}=\text{constant}.$$

Empecé por establecer$đQ=0$en

$$\mathrm dU=đQ+đW,$$ uno entonces obtiene $$0=\mathrm dU+P~\mathrm dV.$$

ahora dado$U=\frac{3}{2}NkT-\frac{N^2 a}{V},$Conecté sus derivados en

$$\mathrm dU=\left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V~\mathrm dT+\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T~\mathrm dV,$$ de la que obtuve $$0=C_V~\mathrm dt+\left(P+\frac{N^2 a}{V^2} \right)_T~\mathrm dV=C_V~\mathrm dT + \frac{NkT}{V-Nb}~\mathrm dV,$$ usando $V~ đW$la ecuación de

dividiendo por$T$e integrando da

$$C=\log{T^{C_V}}+\log{(V-Nb)^{Nk}},$$ que es equivalente a $$C'=(V-Nb)^{Nk}T^{C_V},$$ para $C$y $C'$constantes

Ahora la expresión así obtenida parece muy similar a lo que estaba buscando, pero parece que no puedo deshacerme de la$Nk$exponente. ¿Alguien tiene un enfoque diferente para este problema o una forma de obtener la fórmula deseada?