Las preguntas 2, 3 y 4 se reducen a que asumimos que no hay una fuerza externa que actúe sobre las dos masas y luego, de acuerdo con las leyes de Newton, su centro de masa debe permanecer estacionario (o moverse a una velocidad constante, pero inicialmente elegiré esto sea cero).

Si$T_A\neq T_B$entonces eventualmente ambas masas serían ambas del mismo lado de$F_{1A}$/$F_{2B}$y algún tiempo después este punto estaría entre los dos, lo que implicaría que el centro de masa se estaría moviendo.

Para los otros dos, podría ser más fácil si primero respondiera a su primera pregunta. Si representamos la distancia entre$m_A$y el centro de masa como$r_A$y similar la distancia entre$m_B$y el centro de masa como$r_B$. Por definición del centro de masa, siempre debe estar entre y en línea con$m_A$y$m_B$, y

$$m_A\,r_A=m_B\,r_B. \tag{1}$$

La fuerza gravitacional de$m_B$en$m_A$también podría ser causado por otra masa ficticia fijada en el centro de masa. La masa de este objeto ficticio, denotada con$\hat{m}_B$, se puede encontrar, tal que siempre ejercería la misma fuerza que$m_B$,

$$\frac{G\,m_B}{(r_A+r_B)^2} = \frac{G\,\hat{m}_B}{r_A^2}, \tag{2}$$

usando la ecuación$(1)$entonces$r_B$se puede expresar en$r_A$,$m_A$y$m_B$,

$$\frac{G\,m_B}{r_A^2\left(1+\frac{m_A}{m_B}\right)^2} = \frac{G\,\hat{m}_B}{r_A^2}, \tag{3}$$

$$\hat{m}_B = \frac{m_B^3}{(m_A + m_B)^2}. \tag{4}$$

De manera similar, también podría hacer esto para$m_B$por reemplazo$m_A$con$\hat{m}_A$fijo en el centro de masa,

$$\hat{m}_A = \frac{m_A^3}{(m_A + m_B)^2}. \tag{5}$$

Usando estas masas, ahora puede usar su expresión inicial para el período orbital ,

$$T_A = 2\pi\sqrt{\frac{a_A^3}{G\,\hat{m}_B}} = 2\pi\sqrt{\frac{a_A^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_B^3}}, \tag{6}$$

$$T_B = 2\pi\sqrt{\frac{a_B^3}{G\,\hat{m}_A}} = 2\pi\sqrt{\frac{a_B^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_A^3}}. \tag{7}$$

Ecuación$(1)$también debería ser válido para los semiejes mayores, por lo que para la expresión de$T_B$también podría escribirse como,

$$T_B = 2\pi\sqrt{\frac{\left(a_A\frac{m_A}{m_B}\right)^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_A^3}} = 2\pi\sqrt{\frac{a_A^3\,(m_A + m_B)^2}{G\,m_B^3}}, \tag{8}$$

que es lo mismo que la expresión para$T_A$en ecuacion$(6)$. Llamar a esta expresión$T$y reescribirlo en una forma similar a la indicada en su pregunta produce,

$$\frac{T^2\,m_B^3}{a_A^3\,(m_A + m_B)^3} = \frac{4\pi^2}{G\,(m_A + m_B)}. \tag{9}$$

Aplicando de nuevo la ecuación$(1)$a los ejes semi-mayores, entonces el lado izquierdo de la ecuación$(9)$Se puede escribir como,

$$\frac{T^2\,m_B^3}{a_A^3\,(m_A + m_B)^3} = \frac{T^2}{\left(a_A\,\left(\frac{m_A}{m_B} + 1\right)\right)^3} = \frac{T^2}{\left(a_B + a_A\right)^3}, \tag{10}$$

que es de hecho la relación que buscabas.

Como ya mostré que en relación con$m_A$podrías reemplazar$m_B$con$\hat{m}_B$fijo en el centro de masa. Porque$\hat{m}_B$es fijo, entonces también debe ser un punto focal de la órbita de$m_A$. De manera similar, se puede demostrar que el centro de masa debe ser un punto focal de la órbita de$m_B$.

Ahora suponiendo que la órbita resultante de$m_A$ parece ,

$$r_A = \frac{a_A\,(1 - e_A)^2}{1 + e_A\,\cos\theta}, \tag{11}$$

entonces usando la ecuación$(1)$una expresión para$r_B$se puede encontrar que es,

$$r_B = \frac{m_A}{m_B} \frac{a_B\frac{m_B}{m_A}\,(1 - e_A)^2}{1 + e_A\,\cos\theta} = \frac{a_B\,(1 - e_A)^2}{1 + e_A\,\cos\theta}. \tag{12}$$

Entonces las excentricidades de ambas órbitas también deben ser iguales, solo el punto desde donde mides$\theta$debe girarse 180°.