Problema de Kepler en el tiempo: ¿cómo se mueven dos partículas atraídas gravitacionalmente? [duplicar]

solución de libro de texto

Lo primero que hay que hacer es definir el centro de masa y las coordenadas relativas:

$$R(t) = {m_1 r_1 + m_2 r_2 \over m_1 + m_2}$$

$$r(t) = r_2 - r_1$$

Inviertes esto para encontrar

$$r_1= R - {m_2\over M} r$$ $$r_2=R+ {m_1\over M} r$$

La ecuación de movimiento de R es trivial, ya que el centro de masa es una ley de conservación:

$${d^2 R \over dt^2 } = 0$$

y se resuelve por

$$R(t) = V_0 t + R_0$$ dónde $V_0$y $R_0$son el centro inicial de la velocidad y la posición de la masa, respectivamente (que se calculan a partir de las condiciones iniciales dadas).

La ecuación no trivial es para la coordenada relativa:

$$m{d^2 r \over dt^2} = - {m_1 m_2 r\over |r|^3}$$ donde m es la masa reducida: ${1\over m} ={1\over m_1} + {1\over m_2}$.

O:

$${d^2 r \over dt^2} = - {M r\over |r|^3}$$

Dónde$M=m_1 + m_2$es la masa total.

El problema se reduce a resolver el movimiento de Kepler en un potencial 1/r. De ahora en adelante, cambiaré la escala del tiempo para hacer que el parámetro de masa en la ecuación r sea 1.

Puede elegir que el eje x se encuentre a lo largo de la r inicial y que el eje y se encuentre a lo largo de la componente de la inicial$\dot{r}$perpendicular a la r inicial. Otra forma de decir esto es rotar las coordenadas para hacer que el vector de momento angular$r\times p$dónde$p=m\dot{r}$estar a lo largo del eje z. Esta rotación reduce el problema a un plano, y las columnas de la matriz de rotación están dadas por la r inicial normalizada (ahora a lo largo del eje x), la componente de la velocidad inicial perpendicular a r, normalizada (a lo largo del eje y), y L normalizada a lo largo del eje z.

Luego usa unidades para establecer el total sobre la masa reducida en 1, y usa coordenadas polares en el plano xy del movimiento, y observa que el momento angular es constante:

$$r^2 {d\theta\over dt} = L$$

Esto te dice que el vector r barre áreas iguales en tiempos iguales. La ecuación de movimiento para r(t) (ya no es un vector, ahora es una coordenada radial escalar) es:

$${d^2 r \over dt^2} = {L^2 \over r^3} - {1 \over r^2}$$

Entonces cambias el tiempo fuera por$\theta$, expresando todo en términos de$r(\theta)$, que puede hacer usando la ley de áreas iguales, siempre que el momento angular sea distinto de cero (si el momento angular inicial es cero, o muy cercano a cero, este es un problema unidimensional de dos cuerpos que se puede resolver directamente con métodos más elementales). medio). La ecuación de movimiento para$r(\theta)$simplifica cuando realiza una transformación de coordenadas para$u={1\over r}$:

$${d^2 u \over d\theta^2} = C - u$$

Donde C es una constante sin importancia, y esto se resuelve por

$$u(\theta) = {1\over A} (1 + a \cos(\theta -\theta_0))$$

Donde A es el semieje mayor de la elipse (si la órbita es una elipse),$\theta_0$determina la orientación en el plano xy, y a es la excentricidad de la elipse (si a<1), o determina el ángulo de la hipérbola (si a>1) o te dice que la órbita es una parábola (a=1).

el único resultado que necesitas es que

$$r(\theta) = {A\over 1+ a\cos(\theta-\theta_0)}$$

Esto te da la solución de r en función de$\theta$, que da la forma de la órbita. Aquí es donde se detienen los libros de texto.

Hallazgo$\theta$como una función de$t$

Pero entonces quieres la solución para$\theta$en función del tiempo, para obtener la r y$\theta$como funciones del tiempo. Así se determina a partir de la ley del área, conceptualmente:

$$r^2 {d\theta\over dt} = L$$

$${d\theta \over (1+ a \cos(\theta-\theta_0))^2 }= {L \over A^2} dt$$

e integrando esto desde el tiempo 0 hasta el tiempo t, te dice en principio qué$\theta(t)$es. El resultado se puede escribir como:

$$F(a,\theta) = F(a,\theta_0) + {L\over A^2} t$$

Dónde$F(a,\theta)$es la función especial que te da el área de una sección cónica del parámetro a, en una cuña desde el foco donde una media línea está a lo largo del eje mayor, y la otra media línea forma un ángulo$\theta$con el primero Esta función especial no es expresable en términos de funciones elementales.

Esta función está definida por la integral anterior y puedes calcularla numéricamente usando cualquier método de integración numérica. Encontrar esta función e invertirla es la única parte difícil de este problema. Hay tres límites que son necesarios para las perturbaciones:

• para a=0,$F(0,\theta) = \theta$
• para a=1,$F(1,\theta) = {y\over 4} + {y^3\over 12}$dónde$y=r\sin{\theta} = {\sin(\theta)\over 1+\cos(\theta)}$
• para$a=\infty$,$F(a,\theta) \approx {1\over a} \tan(\theta)$

Cada una de estas son degeneraciones elementales: la primera es el círculo, la segunda es la parábola y la tercera es una línea recta. Lo importante es que cada una de estas degeneraciones te da x(t) e y(t) que son simples, y además, puedes perturbar alrededor de cada uno de estos tres límites de una manera agradable. A continuación, el parámetro t se vuelve a escalar para absorber${L\over A^2}$

• círculo:$x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \sin(t)$
• parábola:$y(t)= (\sqrt{1+36t^2} + 6t)^{1\over 3} - (\sqrt{1+36t^2} - 6t)^{1\over 3}$ $x(t) = {1\over 2} - {y^2\over 2}$
• línea:$x(t) = {1\over a}$,$y(t) = t$

La línea y el círculo son obvios, la parábola se encuentra invirtiendo el valor cúbico de y en función de t usando la ecuación cúbica.

Cerca del círculo, el tiempo es periódico con el período orbital, que es el área dentro de la elipse$aA^2$dividido por la tasa de barrido del área$L/2$. Así que tienes una función de una vuelta de un círculo a otro círculo, que siempre se puede escribir como una serie de Fourier con un término lineal, que se encuentra a partir de la serie de potencias del integrando en a, integrado término por término. Cerca de la hipérbola en línea recta, puedes perturbar de manera similar en una serie, y la única degeneración interesante es la parábola. Cerca de la parábola, la teoría de la perturbación es un poco más complicada.