¿Por qué la atracción del Sol es una fuerza central si no está en el centro de una órbita elíptica?

Generalmente elegimos usar la ubicación del sol como nuestro origen. Tienes razón al identificar que esto está en el foco de la elipse. Entonces elegimos tomar cantidades relativas al Sol como origen. por ejemplo, la distancia radial de una elipse a un foco viene dada por

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1\pm e\cos\theta},$$ mientras que para dar la distancia desde el centro de la elipse, la expresión es $$r=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}.$$

Además definimos cosas como$\vec{r}$del Sol y el momento angular$\vec{r}\times\vec{p}.$Ahora trataré de explicar por qué elegimos hacer esto.

Considere si usáramos el centro de la elipse en su lugar. Esta posición del centro depende de los elementos orbitales de la órbita que estamos viendo. Entonces el centro de nuestro origen para la Tierra-Sol, sería diferente al de Sol-Júpiter. Eso suena increíblemente complicado para trabajar. Por ejemplo, no tendría sentido comparar el momento angular de Júpiter con el momento angular de la Tierra, ya que se toma en un punto diferente. Si, en cambio, usamos el Sol, entonces el origen permanece fijo y los dos momentos angulares se vuelven significativos para comparar.

Además, tiene un buen significado físico, ya que, como también identificas correctamente, es hacia donde nos atrae la gravedad. Esto significa que podemos utilizar fácilmente la simetría esférica, si elegimos ese origen.

Entonces, para concluir, el enfoque como origen es físicamente significativo. La ubicación del centro de la elipse es algo que depende de la órbita particular que estés mirando, y no es un origen muy útil para hacer matemáticas. Entonces, cuando decimos que algo es central, nos referimos a nuestro origen elegido, que aquí es el foco.

El punto en el espacio que defines como el origen no puede cambiar la naturaleza de la fuerza ya que a la naturaleza no le importan los sistemas de coordenadas.

Cuando decimos que una fuerza central satisface

$$\vec F=F(r)\hat r,$$ estamos definiendo el origen como el centro de fuerza. Sin embargo, podemos considerar el centro de fuerza en la posición $\vec r_0$y en este caso la fuerza central viene dada por $$\vec F=F(|\vec r-\vec r_0|)\frac{(\vec r-\vec r_0)}{|\vec r-\vec r_0|}.$$ Como puede adivinar, puede considerar que el Sol está fuera del origen, pero la fuerza sigue siendo central.

Tanto el Sol como la Tierra en realidad se mueven en una elipse y cada una de sus elipses tiene un foco en el centro de masa de los dos, también conocido como baricentro.

Nuestro Sol es unas 333k veces más masivo que la Tierra. Por lo tanto, su elipse es diminuta en comparación con la elipse de la Tierra, por lo que podemos ignorarla. Leí en alguna parte (y sería bastante fácil hacer el cálculo) que nuestro Sol es atraído unos 4 km por la masa de la Tierra, a medida que la Tierra viaja a su alrededor. A 4 km del centro del Sol todavía estaría dentro del Sol.

Si ambos objetos tienen la misma masa o similar, como en un sistema binario, es más obvio que cada uno viaja a lo largo de su propia elipse con sus focos en el centro de masa del sistema.

La fuerza actúa hacia este centro de masa, no exactamente hacia el centro del Sol.

El código de procesamiento aquí podría ayudar y demostrar .