Pregunta sobre órbitas elípticas

Para dos cuerpos que se atraen entre sí, usamos la masa reducida y la distancia entre ellos (r) para resolver la ecuación de movimiento. El resultado final es un obituario elíptico bajo ciertas condiciones.

Tengo entendido que este obit es el obit de la masa reducida (por lo tanto, un cuerpo virtual) que gira alrededor de un punto (foco) que está a una distancia r de él. ¿Es correcto?

En este caso, si uno de los cuerpos es mucho más pesado que el otro, podemos decir que el cuerpo más pesado está en el foco y el más liviano está orbitando a su alrededor. Entonces, el lugar geométrico de la masa más ligera es el mismo que el lugar geométrico (órbita) del cuerpo virtual con masa reducida. Y esta es la primera ley de Kepler. ¿Es correcto mi entendimiento?

Si las masas de los dos cuerpos son comparables, entonces no tenemos información directa sobre los lugares geométricos de los cuerpos, ¿verdad? Solo sabemos cómo cambia r (distancia entre los dos cuerpos), pero no su lugar geométrico individual en el marco del laboratorio, ¿verdad? Y la 1ª Ley de Kepler ya no es aplicable (es decir, no gira alrededor del foco). ¿Es correcto? ¿Sus órbitas siguen siendo elípticas?

Respuestas (2)

En este caso, si uno de los cuerpos es mucho más pesado que el otro, podemos decir que el cuerpo más pesado está en el foco y el más liviano está orbitando a su alrededor.

El concepto de masa reducida no dicta cuál de los dos cuerpos debe verse como fijo. Por ejemplo, uno podría mirar las cosas desde la perspectiva de un cuerpo muy masivo que orbita alrededor de un cuerpo más bien pequeño. Por ejemplo, no hay nada de malo per se en mirar las cosas desde la perspectiva de que el Sol orbita alrededor de la Tierra. (Modelar los movimientos de los otros planetas es, por supuesto, un poco más complicado desde esta perspectiva geocéntrica).

De hecho, uno podría elegir cualquier punto a lo largo de la línea que conecta los dos cuerpos como el punto fijo y todavía terminar con cada uno de los dos cuerpos moviéndose alrededor de ese punto fijo en forma de órbitas elípticas. Hay tres puntos especiales de interés:

  1. Se considera que el cuerpo más masivo es el punto fijo.
    Este es el punto de vista que conduce a las leyes de Kepler en nuestro sistema solar.
  2. El cuerpo menos masivo se considera el punto fijo.
    Este es el punto de vista geocéntrico, que funciona bien desde la perspectiva del problema de dos cuerpos pero requiere la invocación de fuerzas de inercia en el problema de n-cuerpos.
  3. El centro de masa de los dos cuerpos se considera el punto fijo.
    Cuando se extiende al problema de los n cuerpos, este es el marco en el que las ecuaciones de movimiento toman su forma más simple, y es por eso que el JPL, la Academia Rusa y el Observatorio de París usan este marco cuando modelan el comportamiento del sistema solar.

Si las masas de los dos cuerpos son comparables, entonces no tenemos información directa sobre los lugares geométricos de los cuerpos, ¿verdad?

Como se mencionó anteriormente, qué punto se considera que es el foco de las dos elipses es un poco arbitrario. Sin embargo, hay tres puntos que se destacan.

¡Gracias David! Quiero asegurarme de que entiendo correctamente. Entonces, ¿quiere decir que cualquier punto en la línea que une los dos cuerpos se puede hacer como un punto fijo (y el foco) de los lugares geométricos elípticos de los dos cuerpos? ¿Y solo el centro de masa no necesita la "invocación de fuerzas de inercia"? ¿Porque esos puntos estarán en cuadros acelerados?
Lo siento, una pregunta más. Si tomamos el centro de masa como el punto fijo, pero M no es mucho más grande que m, aún no podemos usar la órbita derivada de la masa reducida directamente para describir los lugares geométricos de m, ¿verdad? ¡Gracias!

Tengo entendido que este obit es el obit de la masa reducida (por lo tanto, un cuerpo virtual) que gira alrededor de un punto (foco) que está a una distancia r de él. ¿Es correcto?

Si, eso es correcto.

En este caso, si uno de los cuerpos es mucho más pesado que el otro, podemos decir que el cuerpo más pesado está en el foco y el más liviano está orbitando a su alrededor.

Esa es una aproximación válida porque tienes

m = metro METRO metro + METRO → metro METRO METRO = metro .
en el limite de METRO → ∞ .

Si las masas de los dos cuerpos son comparables, entonces no tenemos información directa sobre los lugares geométricos de los cuerpos, ¿verdad?

Un (mal) ejemplo sería el positronio, donde un positrón y un electrón orbitan entre sí. Tienen exactamente la misma masa. Sin embargo, esta parte de la física no puede describirse con sensatez utilizando la física clásica, se necesita la mecánica cuántica para obtener los niveles de energía correctos. E incluso entonces no se puede describir la aniquilación, se necesita la teoría cuántica de campos para eso.

Entonces, como se sugiere en el comentario a continuación, tome un sistema estelar binario donde ambas estrellas tengan la misma masa. Pero la masa aún debe ser lo suficientemente baja como para que la emisión de ondas gravitacionales sea insignificante, de lo contrario, volvemos a tener problemas con ese ejemplo.

Usando cualquiera de los sistemas y observando solo el movimiento clásico, podemos ver su siguiente pregunta:

Y la 1ª Ley de Kepler ya no es aplicable (es decir, no gira alrededor del foco). ¿Es correcto?

Tome el ejemplo de masas iguales y configúrelo de tal manera que ambas partículas tengan una órbita circular. Ambos se moverán en el mismo círculo cerrado. Dado que ambos modos, ninguno está en el centro del círculo, donde ambos lugares geométricos coinciden. De este contraejemplo concluyo que la primera ley de Kepler se hace con la aproximación.

Sin embargo, en el marco relativo donde se usa la masa reducida, esto es válido por supuesto porque la masa reducida orbita el centro de la órbita.

¿Sus órbitas siguen siendo elípticas?

Sí, las órbitas son siempre secciones de cono. Esto solo falla cuando los cuerpos que orbitan entre sí no pueden aproximarse mediante cargas puntuales.

Realmente no puedes aplicar la mecánica newtoniana al positronio. Un ejemplo mucho mejor sería una estrella binaria o un sistema como Plutón y Caronte.
De hecho, para eso se necesita QM para obtener los orbitales y QFT (QED) para obtener la aniquilación. Las estrellas binarias pueden ser problemáticas debido a las ondas gravitacionales. Agregué las preocupaciones a la pregunta.
El efecto de las ondas gravitacionales en las estrellas binarias es casi completamente insignificante. Solo hemos medido el decaimiento orbital de un sistema estelar binario, y no van a colisionar en el corto plazo.
¡Gracias a todos! ¿Puedo decir que todas las órbitas son secciones de cono, pero solo las órbitas de m con M>>m (para 2 cuerpos) pueden deducirse usando el sistema de masa reducida? Si es así, ¿puede decirme cómo derivan las personas, por ejemplo, las órbitas del sistema estelar binario (sin incluir las ondas gravitacionales y la relatividad)? ¿Tienes algún buen libro para recomendar?
Las órbitas son siempre de sección cónica en el sistema de coordenadas relativas. Puede resolver el sistema allí y luego transformar las coordenadas nuevamente con X 1 = R + r / 2 y X 2 = R − r / 2 dónde X 1 y X 2 son las coordenadas de las dos masas, R es la posición del centro de masa y r es el vector de desplazamiento relativo.
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