Tensor de Energía-Momento y Tensor de Campo Electromagnético

Si uno trata de obtener las ecuaciones de Einstein$R_{\mu\nu} - \frac12g_{\mu\nu}R = T_{\mu\nu}$a partir del principio variacional resulta que uno puede definir la forma covariante del tensor de energía-momento$T_{\mu\nu}$:

$$\delta S_m = \frac12\int d^4x \sqrt{-g} T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}.$$ Traté de obtener expresión para $T_{\mu\nu}$de campo electromagnético. Partí de la acción invariable $$\int d^4x\sqrt{-g}L_{em};\quad L_{em} = -\frac{1}{16\pi}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$$ dónde $F_{\mu\nu}$tensor de campo electromagnético: $$F_{\mu\nu} = \frac{\partial A_{\nu}}{\partial x^\mu}-\frac{\partial A_{\mu}}{\partial x^\nu}.$$ si elijo $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = F_{\mu\nu}g^{\mu\sigma}g^{\nu\tau}F_{\sigma\tau}$entonces la variación da: $$-\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\Bigl\{2g^{\alpha\beta}F_{\alpha\mu}F_{\beta\nu}-\frac12g_{\mu\nu}F^{\epsilon\zeta}F_{\epsilon\zeta}\Bigl\}\delta g^{\mu\nu}.$$ Así que concluyo $$T^{(em)}_{\mu\nu} = -\frac{1}{4\pi}\Bigl(g^{\alpha\beta}F_{\alpha\mu}F_{\beta\nu}-\frac14g_{\mu\nu}F^{\epsilon\zeta}F_{\epsilon\zeta}\Bigr).$$ Tengamos en cuenta que $$T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu} = -T^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}.$$ Ahora lo principal. ¿Qué pasa si elijo por $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$la siguiente expresión: $$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = F^{\mu\nu}g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}F^{\sigma\tau}.$$ Actuando igual que arriba obtenemos $$-\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g}\Bigl\{2g_{\alpha\beta}F^{\mu\alpha}F^{\nu\beta} + \frac12 g^{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr\}\delta g_{\mu\nu},$$ lo que me obliga a concluir que $$T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\Bigl(g_{\alpha\beta}F^{\mu\alpha}F^{\nu\beta} + \frac14 g^{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr).$$ Pero si bajo índices obtengo $$g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}T^{\sigma\tau} = \tilde{T}_{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi}\Bigl(g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}g_{\alpha\beta}F^{\sigma\alpha}F^{\tau\beta} + \frac14g_{\mu\nu}F_{\delta\epsilon}F^{\delta\epsilon}\Bigr),$$ que no es $T_{\mu\nu}$debido al primer término. ¿Qué estoy equivocado? ¿Por qué los componentes covariantes del potencial vectorial? $A$es más útil aquí que contravariante?