Tensor de Faraday, rango dos antisimétrico

Es muy fácil.

Primero use la definición del tensor de Faraday:$F_{\mu\nu}\equiv\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$, y luego escriba la misma expresión pero en otro sistema de referencia inercial, es decir$F'^{\mu\nu}=\Lambda_{\ \alpha}^{\mu}\Lambda_{\ \beta}^{\nu}F^{\alpha\beta}$. Y usando la propiedad de la$\Lambda$matriz:$\eta_{\alpha\beta}=\Lambda_{\ \alpha}^{\mu}\Lambda_{\ \beta}^{\nu}\eta_{\mu\nu}$, obtendrás eso$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$, es decir$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$es una cantidad invariante de Lorentz. Luego, para expresar esto en términos de los campos EM, debe usar la expresión matricial de$F^{\mu\nu}$: Digamos$F$, en términos de los campos EM. y la cantidad$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$es, en términos matriciales, la traza de la matriz$FF^T$. es decir

$$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}=Tr(FF^T)$$

------------------------Editado------------------------- -

Ahora sabemos que el intervalo$s^2:=x_{\mu}x^{\mu}$debe ser invariante de Lorentz, en otras palabras si$x'^{\mu}=\Lambda_{\ \nu}^{\mu}x^{\nu}$es la línea universal de una partícula medida por un observador inercial que se mueve con velocidad$\vec v=v \hat u_x$, dónde

$$\Lambda_{\ \nu}^{\mu}=\begin{pmatrix}\gamma & -\beta\gamma & 0 & 0\\ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

entonces se debe sostener que

$$x_{\mu}'x'^{\mu}=x_{\mu}x^{\mu}$$ donde sabemos que $x_{\mu}=\eta_{\mu\nu}x^{\nu}$y la métrica es $$\eta_{\mu\nu}:=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)=:\eta^{\mu\nu}$$ entonces tenemos eso $$x_{\mu}'x'^{\mu}=\eta_{\mu\nu}x'^{\nu}x'^{\mu}$$ $$\eta_{\mu\nu}x'^{\nu}x'^{\mu}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}x^{\alpha}\Lambda_{\ \beta}^{\mu}x^{\beta}$$ $$\eta_{\alpha\beta}x'^{\alpha}x'^{\beta}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}\Lambda_{\ \beta}^{\mu}x^{\alpha}x^{\beta}$$ es decir, la matriz $\Lambda$debe satisfacer

$$\eta_{\alpha\beta}=\eta_{\mu\nu}\Lambda_{\ \alpha}^{\nu}\Lambda_{\ \beta}^{\mu} \qquad (1)$$

Luego usando (1),

$$F_{\mu\nu}=\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F^{\alpha\beta}$$ y $$F'^{\mu\nu}=\Lambda_{\ \sigma}^{\mu}\Lambda_{\ \rho}^{\nu}F^{\sigma\rho}$$ vamos a demostrar que $F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$(aquí el orden no importa debido a $F^{\mu\nu}$es en realidad un escalar, el $\mu,\nu$componente de la matriz $F$). Bien, entonces tenemos eso. $$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}=F'^{\mu\nu}\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}F'^{\alpha\beta}$$ $$=\Lambda_{\ \delta}^{\mu}\Lambda_{\ \varepsilon}^{\nu}F^{\delta\varepsilon}\eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta}\Lambda_{\ \sigma}^{\alpha}\Lambda_{\ \rho}^{\beta}F^{\sigma\rho}$$ $$=\left(\Lambda_{\ \delta}^{\mu}\Lambda_{\ \sigma}^{\alpha}\eta_{\mu\alpha}\right)\left(\Lambda_{\ \varepsilon}^{\nu}\Lambda_{\ \rho}^{\beta}\eta_{\nu\beta}\right)F^{\delta\varepsilon}F^{\sigma\rho}$$ $$\equiv\eta_{\delta\rho}\eta_{\varepsilon\sigma}F^{\delta\varepsilon}F^{\sigma\rho}\equiv F^{\delta\varepsilon}F_{\delta\varepsilon}$$ Entonces $$F'^{\mu\nu}F'_{\mu\nu}= F^{\delta\varepsilon}F_{\delta\varepsilon}$$

Aquí los índices son ficticios (se están sumando), por lo que no tienen que coincidir. Entonces, en conclusión, la cantidad$F^{\mu\nu}F{}_{\mu\nu}$(o$F{}_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$) si se mide en cualquier marco inercial, tendría el mismo valor, es decir, es un invariante de Lorentz.

Finalmente escribiré la parte del cálculo de$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$en términos de los campos EM, pero tal vez más tarde. Ya sabes, por el tiempo. ¡Pero! Deberías leer esta pregunta, yo hice hace unos meses lo mismo, y aquí está la respuesta. Por supuesto, si tienes dudas, pregúntanos.

Clic aquí: Cálculo de la invariante electromagnética en forma matricial

$${\displaystyle{ F^{\mu \nu }=\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\mu \alpha }F^{\alpha \beta }\eta _{\beta \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$$ $$F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2 \left[ {\vec E} {}^2 -\vec B{}^2 \right]$$